adorian / PFE_28

node19.html 7.42 KB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Διαφορικές εξισώσεις</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Equations diff&#233;rentielles">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="previous" HREF="node18.html">
<LINK REL="up" HREF="node14.html">
<LINK REL="next" HREF="node20.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html329"
  HREF="node20.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> 
<A NAME="tex2html323"
  HREF="node14.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> 
<A NAME="tex2html319"
  HREF="node18.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> 
<A NAME="tex2html325"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> 
<A NAME="tex2html327"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> 
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html330"
  HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html324"
  HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html320"
  HREF="node18.html">Επίλυση εξισώσεων</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html326"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> 
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html328"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> 
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H2><A NAME="SECTION00035000000000000000"></A>
<A NAME="442"></A>
<BR>
Διαφορικές εξισώσεις
</H2>
Όπως και στις δύο προηγούμενες ενότητες, διακρίνουμε και εδώ 
την ακριβή επίλυση, 
που δεν πάντα δυνατή, και την προσεγγιστική επίλυση.
Η ακριβής επίλυση πραγματοποιείται με την συνάρτηση <code>desolve</code>. 
Οι παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης  <I>y</I> μπορεί να γραφτούν ως  <I>y'</I>, 
<I>y''</I>, που μεταφράζονται σε <code>diff(y)</code>, 
<code>diff(diff(y))</code>.
Εάν δεν προσδιορίσουμε αρχικές συνθήκες, το αποτέλεσμα δίνεται 
συναρτήσει αυθαίρετων σταθερών.
<PRE>
desolve(y'=y,y)
desolve(y''+2*y'+y=0,y)
desolve((x^2-1)*y'+2*y=0,y)
</PRE>
Οι αρχικές καταστάσεις θεωρούνται ως επιπρόσθετες εξισώσεις, 
που αποτελούν μία λίστα με την διαφορική εξίσωση.
<PRE>
desolve([y'=y,y(0)=1],y)
desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1],y)
desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1,y'(0)=1],y)
desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1,y(1)=0],y)
desolve([(x^2-1)*y'+2*y=0,y(0)=1],y)
desolve((t^2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=0,y(t))
</PRE>
<A NAME="1654"></A>
<A NAME="1655"></A>

<P>
Η συνάρτηση <code>odesolve</code> μας επιτρέπει να επιλύουμε με 
αριθμητικές μεθόδους μία διαφορική εξίσωση <I>y'</I> = <I>f</I> (<I>x</I>, 
<I>y</I>) 
που περνάει από ένα σημείο (<I>x</I><SUB>0</SUB>, <I>y</I><SUB>0</SUB>).
Παραδείγματος χάρη,
<PRE>
odesolve(sin(x*y),[x,y],[0,1],2)
</PRE>
μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή <I>y</I>(2), όπου  <I>y</I>(<I>x</I>) 
είναι 
η λύση της  <!-- MATH
 $y'(x)=\sin(xy)$
 -->
<I>y'</I>(<I>x</I>) = sin(<I>xy</I>),
έτσι ώστε <I>y</I>(0) = 1.
Η συνάρτηση <code>plotode</code> παρουσιάζει γραφικά την επίλυση μίας διαφορικής 
εξίσωσης, ενώ
η συνάρτηση <code>plotfield</code> παρουσιάζει το πεδίο των εφαπτομένων.
Η συνάρτηση <code>interactive_odeplot</code> παρουσιάζει το πεδίο των 
εφαπτομένων και μας επιτρέπει να επιλέγουμε σημεία στο γράφημα 
(κάνοντας κλικ επάνω τους) για να δούμε τις λύσεις που περνάνε από 
τα επιλεγμένα (κλικαρισμένα) σημεία.
<PRE>
plotode(sin(x*y),[x,y],[0,1])
plotfield(sin(x*y),[x,y])
erase()
interactive_plotode(sin(x*y),[x,y])
</PRE>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1">
<TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Διαφορικές εξισώσεις</B></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>desolve</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">ακριβής επίλυση</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>odesolve</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">προσεγγιστική επίλυση</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>plotode</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">σχεδιασμός της τροχιάς</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>plotfield</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">σχεδιασμός διανυσματικού πεδίου </TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>interactive_plotode</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">διαδραστική διεπαφή (όπου κάνουμε κλικ)</TD>
</TR>
</TABLE>
</DIV>
<A NAME="1656"></A>
<A NAME="1657"></A>
<A NAME="1658"></A>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html329"
  HREF="node20.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> 
<A NAME="tex2html323"
  HREF="node14.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> 
<A NAME="tex2html319"
  HREF="node18.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> 
<A NAME="tex2html325"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> 
<A NAME="tex2html327"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> 
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html330"
  HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html324"
  HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html320"
  HREF="node18.html">Επίλυση εξισώσεων</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html326"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> 
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html328"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> 
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>