<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70) original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from: Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others Translation to greek : George Nassopoulos--> <HTML> <HEAD> <TITLE>Διαφορικές εξισώσεις</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Equations différentielles"> <META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css"> <LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css"> <LINK REL="previous" HREF="node18.html"> <LINK REL="up" HREF="node14.html"> <LINK REL="next" HREF="node20.html"> </HEAD> <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html329" HREF="node20.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html323" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html319" HREF="node18.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html325" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html327" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html330" HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html324" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html320" HREF="node18.html">Επίλυση εξισώσεων</A> <B> <A NAME="tex2html326" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html328" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel--> <H2><A NAME="SECTION00035000000000000000"></A> <A NAME="442"></A> <BR> Διαφορικές εξισώσεις </H2> Όπως και στις δύο προηγούμενες ενότητες, διακρίνουμε και εδώ την ακριβή επίλυση, που δεν πάντα δυνατή, και την προσεγγιστική επίλυση. Η ακριβής επίλυση πραγματοποιείται με την συνάρτηση <code>desolve</code>. Οι παράγωγοι της άγνωστης συνάρτησης <I>y</I> μπορεί να γραφτούν ως <I>y'</I>, <I>y''</I>, που μεταφράζονται σε <code>diff(y)</code>, <code>diff(diff(y))</code>. Εάν δεν προσδιορίσουμε αρχικές συνθήκες, το αποτέλεσμα δίνεται συναρτήσει αυθαίρετων σταθερών. <PRE> desolve(y'=y,y) desolve(y''+2*y'+y=0,y) desolve((x^2-1)*y'+2*y=0,y) </PRE> Οι αρχικές καταστάσεις θεωρούνται ως επιπρόσθετες εξισώσεις, που αποτελούν μία λίστα με την διαφορική εξίσωση. <PRE> desolve([y'=y,y(0)=1],y) desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1],y) desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1,y'(0)=1],y) desolve([y''+2*y'+y=0,y(0)=1,y(1)=0],y) desolve([(x^2-1)*y'+2*y=0,y(0)=1],y) desolve((t^2-1)*diff(y(t),t)+2*y(t)=0,y(t)) </PRE> <A NAME="1654"></A> <A NAME="1655"></A> <P> Η συνάρτηση <code>odesolve</code> μας επιτρέπει να επιλύουμε με αριθμητικές μεθόδους μία διαφορική εξίσωση <I>y'</I> = <I>f</I> (<I>x</I>, <I>y</I>) που περνάει από ένα σημείο (<I>x</I><SUB>0</SUB>, <I>y</I><SUB>0</SUB>). Παραδείγματος χάρη, <PRE> odesolve(sin(x*y),[x,y],[0,1],2) </PRE> μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή <I>y</I>(2), όπου <I>y</I>(<I>x</I>) είναι η λύση της <!-- MATH $y'(x)=\sin(xy)$ --> <I>y'</I>(<I>x</I>) = sin(<I>xy</I>), έτσι ώστε <I>y</I>(0) = 1. Η συνάρτηση <code>plotode</code> παρουσιάζει γραφικά την επίλυση μίας διαφορικής εξίσωσης, ενώ η συνάρτηση <code>plotfield</code> παρουσιάζει το πεδίο των εφαπτομένων. Η συνάρτηση <code>interactive_odeplot</code> παρουσιάζει το πεδίο των εφαπτομένων και μας επιτρέπει να επιλέγουμε σημεία στο γράφημα (κάνοντας κλικ επάνω τους) για να δούμε τις λύσεις που περνάνε από τα επιλεγμένα (κλικαρισμένα) σημεία. <PRE> plotode(sin(x*y),[x,y],[0,1]) plotfield(sin(x*y),[x,y]) erase() interactive_plotode(sin(x*y),[x,y]) </PRE> <DIV ALIGN="CENTER"> <TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1"> <TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Διαφορικές εξισώσεις</B></TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>desolve</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">ακριβής επίλυση</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>odesolve</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">προσεγγιστική επίλυση</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>plotode</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">σχεδιασμός της τροχιάς</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>plotfield</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">σχεδιασμός διανυσματικού πεδίου </TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>interactive_plotode</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">διαδραστική διεπαφή (όπου κάνουμε κλικ)</TD> </TR> </TABLE> </DIV> <A NAME="1656"></A> <A NAME="1657"></A> <A NAME="1658"></A> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html329" HREF="node20.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html323" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html319" HREF="node18.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html325" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html327" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html330" HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html324" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html320" HREF="node18.html">Επίλυση εξισώσεων</A> <B> <A NAME="tex2html326" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html328" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart </ADDRESS> Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας </BODY> </HTML>