Πίνακες

1. Έστω ο πίνακας M_a = $\left[\vphantom{ \begin{array}{ccc} 2a-1 & a & 2a-1\\ a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\ a^2+a-1 & a^2+a-1 & a \end{array}}\right.$$\begin{array}{ccc} 2a-1 & a & 2a-1\\ a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\ a^2+a-1 & a^2+a-1 & a \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} 2a-1 & a & 2a-1\\ a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\ a^2+a-1 & a^2+a-1 & a \end{array}}\right]$
   a) Για ποιες τιμές του a, είναι ο M_a αντιστρέψιμος;
   Προσδιορίστε την τάξη του όταν δεν είναι αντιστρέψιμος.
   b) Υπολογίστε τον αντίστροφο του πίνακα M₂.

   Απάντηση :
   
   Εισάγουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
   

   M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]
   
   Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του M, πληκτρολογούμε:
   
   
   det(M)
   
   και παίρνουμε:
   
   
   2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a
   
   Για να βρούμε τον αντίστροφο του M πληκτρολογούμε:
   
   
   inv(M)
   
   και παίρνουμε:
   
   $${\frac{{1}}{{2a^4-2a^3-2a^2+2a}}}$$$$\left[\vphantom{ \begin{array}{ccc} a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a... ...+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\ a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a-1\\ -a^2+1 & -2a^3+a^2+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\ a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1 \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a... ...+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\ a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1 \end{array}}\right]$$
   Για να έχει αντίστροφο, πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του 0. Πληκτρολογούμε:
   
   
   solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)
   
   και βλέπουμε πως:
   
   
   [-1,0,1]
   
   ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν a $\not\in$[- 1, 0, 1]
   Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε παραγοντοποιώντας τον παρανομαστή:
   
   
   factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)
   
   διότι το αποτέλεσμα είναι:
   
   
   2*(a+1)*a*(a-1)^2
   
   Για να βρούμε την τάξη του πίνακα όταν δεν είναι αντιστρέψιμος πληκτρολογούμε:
   
   
   [rank(subst(M,a,-1)),rank(subst(M,a,0)),rank(subst(M,a,1))]
   
   και βλεπουμε πως είναι:
   
   
   [2, 2, 1]
   
   Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M₂ πληκτρολογούμε:
   
   
   inv(subst(M,a,2))
   
   και παίρνουμε:
   
   
   A = ${\frac{{1}}{{12}}}$$\left[\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 11 & -7\\ -3 & -9 & 9\\ 5 & -5 & 1 \end{array}}\right.$$\begin{array}{ccc} 1 & 11 & -7\\ -3 & -9 & 9\\ 5 & -5 & 1 \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 11 & -7\\ -3 & -9 & 9\\ 5 & -5 & 1 \end{array}}\right]$
   
   Επισήμανση: για να μην κάνουμε αντικαταστάσεις μπορούμε να ορίσουμε τον πίνακα M σαν συνάρτηση του a, γράφοντας:
   
   
   M(a):=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]
   
   Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M₂ πληκτρολογούμε απλά: inv(M(2)).

2. Έστω ο πίνακας A = $\left[\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a\\ 1 & a & 1\\ a & 1 & 1 \end{array}}\right.$$\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a\\ 1 & a & 1\\ a & 1 & 1 \end{array}$$\left.\vphantom{ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a\\ 1 & a & 1\\ a & 1 & 1 \end{array}}\right]$
   Για ποιές τιμές του a, διαγωνοποιείται;

   Απάντηση:
   

   Ορίζουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
   

   A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]
   
   Για να δούμε για ποιες τιμές του a διαγωνοποιείται ο πίνακας, βρίσκουμε την μορφή Jordan του A πληκτρολογώντας:
   
   
   egvl(A)
   
   Από το αποτέλεσμα:
   $$\tt\left[ \begin{array}{ccc} -a+1 & 0 & 0\\ 0 & a+2 & 0\\ 0 & 0 & a-1 \end{array}\right]$$
   που γράφεται και:
   
   
   [[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]
   
   βλέπουμε πως άν a $\neq$ 1 υπάρχουν 3 διακριτές ιδιοτιμές - a + 1, a + 2, a - 1, ενώ άν a = 1 υπάρχει μία διπλή ιδιοτιμή ($\lambda$ = 0) και μία απλή ιδιοτιμή ($\lambda$ = 3).
   Στην συνέχεια βρίσκουμε τον πίνακα μετάβασης από τα ιδιοδιανύσματα, πληκτρολογώντας:
   
   
   egv(A)
   
   Τα ιδιοδιανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα:
   $$\tt\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$
   που γράφεται και:
   
   
   [[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]
   
   Μπορούμε επίσης να έχουμε ταυτόχρονα και τον πίνακα μετάβασης και την μορφή Jordan του πίνακα A πληκτρολογώντας:
   
   
   jordan(A)
   
   Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα δύο πινάκων [P, B] όπου ο P είναι ο πίνακας μετάβασης και B = P^-1AP:
   $$\tt\left[ \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2 ... ...}{ccc} -a+1 & 0 & 0\\ 0 & a+2 & 0\\ 0 & 0 & a-1 \end{array}\right] \right]$$
   που γράφεται και:
   
   
   [[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]
   
   Παρατηρούμε ότι εκτελώντας: a:=1 και στην συνέχεια jordan(A) ομαδοποιούνται οι διπλές ιδιοτιμές και παίρνουμε:
   
   
   $$\tt\left[ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 0\\ 1 & 0 & -3 ... ...n{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \right]$$
   
   που γράφεται και:
   
   
   [[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]
   
   Βλέπουμε λοιπόν πως ο A διαγωνοποιείται για οποιαδήποτε τιμή και αν έχει το a και B = P^-1AP.

Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας