node42.html 15 KB
Edit Raw Blame History

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Πίνακες</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Les matrices">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="previous" HREF="node41.html">
<LINK REL="up" HREF="node35.html">
<LINK REL="next" HREF="node43.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html662"
  HREF="node43.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html656"
  HREF="node35.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html652"
  HREF="node41.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html658"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html660"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html663"
  HREF="node43.html">Σωστό ή λάθος; </A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html657"
  HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html653"
  HREF="node41.html">Διαφορικές εξισώσεων</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html659"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html661"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H2><A NAME="SECTION00075000000000000000">
Πίνακες</A>
</H2>

<OL>
<LI>Έστω ο πίνακας <!-- MATH
 $M_a=\left[
\begin{array}{ccc}
2a-1 & a & 2a-1\\
a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\
a^2+a-1 & a^2+a-1 & a
\end{array}
\right]$
 -->
<I>M</I><SUB>a</SUB> = <IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img38.png"
 ALT="$ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
2a-1 &amp; a &amp; 2a-1\\
a^2+a-2 &amp; a^2-1 &amp; a-1\\
a^2+a-1 &amp; a^2+a-1 &amp; a
\end{array}}\right.$"><IMG
 WIDTH="220" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img39.png"
 ALT="$ \begin{array}{ccc}
2a-1 &amp; a &amp; 2a-1\\
a^2+a-2 &amp; a^2-1 &amp; a-1\\
a^2+a-1 &amp; a^2+a-1 &amp; a
\end{array}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img40.png"
 ALT="$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
2a-1 &amp; a &amp; 2a-1\\
a^2+a-2 &amp; a^2-1 &amp; a-1\\
a^2+a-1 &amp; a^2+a-1 &amp; a
\end{array}}\right]$">
<BR>
a) Για ποιες τιμές του <I>a</I>, είναι ο <I>M</I><SUB>a</SUB> αντιστρέψιμος;
<BR>
Προσδιορίστε την τάξη του  όταν δεν είναι αντιστρέψιμος.
<BR>
b) Υπολογίστε τον αντίστροφο του πίνακα <I>M</I><SUB>2</SUB>.

<P>
<B>Απάντηση</B>&nbsp;:
<BR><BR>
Εισάγουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]] </code>

</DIV>
<BR>
Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του <I>M</I>, πληκτρολογούμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> det(M)</code>

</DIV>
<BR>
και παίρνουμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a</code>
</DIV>
<BR>
Για να βρούμε τον αντίστροφο του <I>M</I> πληκτρολογούμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> inv(M)</code>

</DIV>
<BR>
και παίρνουμε:
<BR>
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
\frac{1}{2a^4-2a^3-2a^2+2a}\left[
\begin{array}{ccc}
a-1 & 2a^3+3a+1 & -2a^3+a^2+a-1\\
-a^2+1 & -2a^3+a^2+2a-1 & 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 & -a^3+2a-1 & a^3-2a^2+1
\end{array}
\right]
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="141" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img41.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2a^4-2a^3-2a^2+2a}}}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img42.png"
 ALT="$\displaystyle \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a-1 &amp; 2a^3+3a+1 &amp; -2a^3+a^2+a...
...+2a-1 &amp; 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 &amp; -a^3+2a-1 &amp; a^3-2a^2+1
\end{array}}\right.$"><IMG
 WIDTH="363" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img43.png"
 ALT="$\displaystyle \begin{array}{ccc}
a-1 &amp; 2a^3+3a+1 &amp; -2a^3+a^2+a-1\\
-a^2+1 &amp; -2a^3+a^2+2a-1 &amp; 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 &amp; -a^3+2a-1 &amp; a^3-2a^2+1
\end{array}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img44.png"
 ALT="$\displaystyle \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
a-1 &amp; 2a^3+3a+1 &amp; -2a^3+a^2+a...
...+2a-1 &amp; 2a^3-a^2-2a+1\\
a^3-2a+1 &amp; -a^3+2a-1 &amp; a^3-2a^2+1
\end{array}}\right]$">
</DIV><P></P>
Για να έχει αντίστροφο, πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του 0.
Πληκτρολογούμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)</code>

</DIV>
<BR>
και βλέπουμε πως:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> [-1,0,1]</code>
</DIV>
<BR>
ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν <!-- MATH
 $a \not\in [-1,0,1]$
 -->
<I>a</I> <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img45.png"
 ALT="$ \not\in$">[- 1, 0, 1]
<BR>
Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε παραγοντοποιώντας τον παρανομαστή:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)</code>

</DIV>
<BR>
διότι το αποτέλεσμα είναι:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>2*(a+1)*a*(a-1)^2</code>
</DIV>
<BR>
Για να βρούμε την τάξη του πίνακα όταν δεν είναι αντιστρέψιμος πληκτρολογούμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> [rank(subst(M,a,-1)),rank(subst(M,a,0)),rank(subst(M,a,1))]</code>

</DIV>
<BR>
και βλεπουμε πως είναι:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> [2, 2, 1]</code>

</DIV>
<BR>
Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα <I>M</I><SUB>2</SUB> πληκτρολογούμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> inv(subst(M,a,2))</code>

</DIV>
<BR>
και παίρνουμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<!-- MATH
 $A=\frac{1}{12}\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 11 & -7\\
-3 & -9 & 9\\
5 & -5 & 1
\end{array}
\right]$
 -->
<I>A</I> = <IMG
 WIDTH="19" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img46.png"
 ALT="$ {\frac{{1}}{{12}}}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img47.png"
 ALT="$ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 &amp; 11 &amp; -7\\
-3 &amp; -9 &amp; 9\\
5 &amp; -5 &amp; 1
\end{array}}\right.$"><IMG
 WIDTH="112" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img48.png"
 ALT="$ \begin{array}{ccc}
1 &amp; 11 &amp; -7\\
-3 &amp; -9 &amp; 9\\
5 &amp; -5 &amp; 1
\end{array}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img49.png"
 ALT="$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 &amp; 11 &amp; -7\\
-3 &amp; -9 &amp; 9\\
5 &amp; -5 &amp; 1
\end{array}}\right]$">
</DIV>
<BR>
<B>Επισήμανση</B>: για να μην κάνουμε αντικαταστάσεις μπορούμε να
ορίσουμε τον πίνακα <I>M</I> σαν συνάρτηση του <I>a</I>, γράφοντας:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>M(a):=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]</code>

</DIV>
<BR>
Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα <I>M</I><SUB>2</SUB>
πληκτρολογούμε απλά: <code>inv(M(2))</code>.

<P>
</LI>
<LI>Έστω ο πίνακας <!-- MATH
 $A=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array}
\right]$
 -->
<I>A</I> = <IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img50.png"
 ALT="$ \left[\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 &amp; 1 &amp; a\\
1 &amp; a &amp; 1\\
a &amp; 1 &amp; 1
\end{array}}\right.$"><IMG
 WIDTH="75" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img51.png"
 ALT="$ \begin{array}{ccc}
1 &amp; 1 &amp; a\\
1 &amp; a &amp; 1\\
a &amp; 1 &amp; 1
\end{array}$"><IMG
 WIDTH="16" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img52.png"
 ALT="$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 &amp; 1 &amp; a\\
1 &amp; a &amp; 1\\
a &amp; 1 &amp; 1
\end{array}}\right]$">
<BR>
Για ποιές τιμές του <I>a</I>, διαγωνοποιείται;

<P>
<B>Απάντηση</B>:
<BR>
<P>
Ορίζουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]] </TT>

</DIV>
<BR>
Για να δούμε για ποιες τιμές του <I>a</I> διαγωνοποιείται ο πίνακας,
βρίσκουμε την μορφή Jordan του <I>A</I> πληκτρολογώντας:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>egvl(A)</TT>
</DIV>
<BR>
Από το αποτέλεσμα:
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
{\tt\left[
\begin{array}{ccc}
-a+1 & 0 & 0\\
0 & a+2 & 0\\
0 & 0 & a-1
\end{array}
\right] }
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="184" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img53.png"
 ALT="$\displaystyle \tt\left[
\begin{array}{ccc}
-a+1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; a+2 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; a-1
\end{array}\right]$">
</DIV><P></P>
που γράφεται και:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]</TT>
</DIV>
<BR>
βλέπουμε πως άν <I>a</I>  <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img17.png"
 ALT="$ \neq$">  1 υπάρχουν 3 διακριτές ιδιοτιμές  <!-- MATH
 $-a+1,a+2,a-1$
 -->
- <I>a</I> + 1, <I>a</I> + 2, <I>a</I> - 1, ενώ
άν <I>a</I> = 1 υπάρχει μία διπλή ιδιοτιμή (<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img54.png"
 ALT="$ \lambda$"> = 0) και μία απλή ιδιοτιμή  (<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img54.png"
 ALT="$ \lambda$"> = 3).
<BR>
Στην συνέχεια βρίσκουμε τον  πίνακα μετάβασης από τα ιδιοδιανύσματα,
 πληκτρολογώντας:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>egv(A)</TT>

</DIV>
<BR>
Τα ιδιοδιανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα:
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
{\tt\left[
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
-1 & 1 & 1
\end{array}
\right] }
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="121" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img55.png"
 ALT="$\displaystyle \tt\left[
\begin{array}{rrr}
-1 &amp; 1 &amp; 1\\
0 &amp; 1 &amp; -2\\
-1 &amp; 1 &amp; 1
\end{array}\right]$">
</DIV><P></P>
που γράφεται και:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]</TT>

</DIV>
<BR>

Μπορούμε επίσης να έχουμε ταυτόχρονα και τον πίνακα μετάβασης και την
 μορφή Jordan του πίνακα <I>A</I> πληκτρολογώντας:
 <BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>jordan(A)</TT>

</DIV>
<BR>
Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα δύο πινάκων [<I>P</I>, <I>B</I>]
όπου ο <I>P</I> είναι ο πίνακας μετάβασης και
<!-- MATH
 $B=P^{-1}AP$
 -->
<I>B</I> = <I>P</I><SUP>-1</SUP><I>AP</I>:
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
{\tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
-1 & 1 & 1
\end{array}
\right] 
\left[\begin{array}{ccc}
-a+1 & 0 & 0\\
0 & a+2 & 0\\
0 & 0 & a-1
\end{array}
\right] 
\right]}
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="323" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img56.png"
 ALT="$\displaystyle \tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
-1 &amp; 1 &amp; 1\\
0 &amp; 1 &amp; -2 ...
...}{ccc}
-a+1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; a+2 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; a-1
\end{array}\right]
\right]$">
</DIV><P></P>
που γράφεται και:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>[[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]</TT>

</DIV>
<BR>
Παρατηρούμε ότι εκτελώντας: <TT>a:=1</TT> και στην συνέχεια <TT>jordan(A)</TT>
ομαδοποιούνται οι διπλές ιδιοτιμές και παίρνουμε:
<BR><BR>
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
{\tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 0\\
1 & 0 & -3\\
1 & 3 & 3
\end{array}
\right] 
\left[\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right] 
\right]}
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="236" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img57.png"
 ALT="$\displaystyle \tt\left[ \left[
\begin{array}{rrr}
1 &amp; -3 &amp; 0\\
1 &amp; 0 &amp; -3 ...
...n{array}{ccc}
3 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0
\end{array}\right]
\right]$">
</DIV><P></P>
<BR>
που γράφεται και:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TT>[[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]</TT>

</DIV>
<BR>
Βλέπουμε λοιπόν πως ο <I>A</I> διαγωνοποιείται για οποιαδήποτε τιμή
και αν έχει το  <I>a</I> και <!-- MATH
 $B=P^{-1}AP$
 -->
<I>B</I> = <I>P</I><SUP>-1</SUP><I>AP</I>.
</LI>
</OL>

<P>

<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html662"
  HREF="node43.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html656"
  HREF="node35.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html652"
  HREF="node41.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html658"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html660"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html663"
  HREF="node43.html">Σωστό ή λάθος; </A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html657"
  HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html653"
  HREF="node41.html">Διαφορικές εξισώσεων</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html659"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html661"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>