node39.html 8.38 KB
Edit Raw Blame History

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Calcul de primitives (niveau d&#233;but universit&#233;)">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="next" HREF="node40.html">
<LINK REL="previous" HREF="node36.html">
<LINK REL="up" HREF="node35.html">
<LINK REL="next" HREF="node40.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html622"
  HREF="node40.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html616"
  HREF="node35.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html610"
  HREF="node38.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html618"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html620"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html623"
  HREF="node40.html">Πεπερασμένα αναπτύγματα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html617"
  HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas  </A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html611"
  HREF="node38.html">Άσκηση 2</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html619"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html621"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H2><A NAME="SECTION00072000000000000000">
Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων </A>
</H2>

<OL>
<LI>Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:<!-- MATH
 \begin{displaymath}
\int_1^2\frac{1}{x^3+1}dx
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
 WIDTH="24" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img27.png"
 ALT="$\displaystyle \int_{1}^{2}$"><IMG
 WIDTH="45" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img28.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^3+1}}}$"><I>dx</I>
</DIV><P></P>
<B>Απάντηση</B>:
<BR><P>
Πληκτρολογούμε:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> int(1/(x^3+1),x,1,2)</code>

</DIV>
<BR>
και αφού απλοποιήσουμε το αποτέλεσμα με την συνάρτηση
<code> normal </code> έχουμε
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> (pi*sqrt(3)+ln(27/64))/18</code>

</DIV>
<BR>
Για να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα, αναλύουμε το αρχικό κλάσμα σε
μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογώντας:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> partfrac(1/(1+t^3))</code>

</DIV>
<BR>
Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)</code>

</DIV>
<BR>
και ολοκληρώνοντας κάθε όρο ξεχωριστά βλέπουμε
πως το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι σωστό...

<P>
</LI>
<LI>Στο <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img13.png"
 ALT="$ \mathbb {R}$"> αναλύσετε το
<!-- MATH
 $\displaystyle \frac{t^2}{1-t^4}$
 -->
<IMG
 WIDTH="43" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img29.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$"> σε
μερικά (ή απλά) κλάσματα, και
 υπολογίστε τα ολοκλήρώματα <!-- MATH
 $\displaystyle \int \frac{t^2}{1-t^4}dt\$
 -->
<IMG
 WIDTH="17" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img30.png"
 ALT="$\displaystyle \int$"><IMG
 WIDTH="43" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img29.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$"><I>dt</I>&nbsp; και <!-- MATH
 $\displaystyle\int \frac{\sin(x)^2}{\cos(2x)}dx$
 -->
<IMG
 WIDTH="17" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img30.png"
 ALT="$\displaystyle \int$"><IMG
 WIDTH="55" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img31.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{\sin(x)^2}}{{\cos(2x)}}}$"><I>dx</I>
<BR><B>Απάντηση</B>:
<BR><P>
Για την ανάλυση σε
μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογούμε:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> partfrac(t^2/(1-t^4))</code>

</DIV>
<BR>
και το αποτέλεσμα είναι:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)</code>

</DIV>
<BR>
Για το πρώτο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε είτε το ανάπτυγμα:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)</code>

</DIV><BR>
είτε την αρχική παράσταση:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>int(t^2/(1-t^4),t)</code>

</DIV><BR>
και το αποτέλεσμα είναι:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs(t+1))-1/4*ln(abs(t-1))</code>

</DIV>
<BR>
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))</code>

</DIV>
<BR>
και το αποτέλεσμα είναι:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>-1/2*x-(-1)/4*ln(abs(tan(x)+1))-1/4*ln(abs(tan(x)-1))</code>

</DIV>
<BR>

Ακόμα αν θέλουμε
μπορούμε να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής
tan(<I>x</I>) = <I>t</I>
για να πάρουμε την έκφραση συναρτήσει της εφαπτομένης. Προς τον
σκοπό αυτό
πληκτρολογούμε,
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))</code>

</DIV><BR>
και παίρνουμε:
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>(-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)</code>

</DIV>
<BR>
Για να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής  <I>x</I> =atan(<I>t</I>)
 πληκτρολογούμε είτε:
 <BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))</code>

</DIV>
<BR>
είτε
 <BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))</code>

</DIV>
 <BR>
 και παίρνουμε
  <BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)</code>

</DIV>
 <BR>

</LI>

</OL>

<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html622"
  HREF="node40.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html616"
  HREF="node35.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html610"
  HREF="node38.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html618"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html620"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html623"
  HREF="node40.html">Πεπερασμένα αναπτύγματα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html617"
  HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas </A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html611"
  HREF="node38.html">Άσκηση 2</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html619"
  HREF="node46.html">Πίνακας των περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html621"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>