<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70) original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from: Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others Translation to greek : George Nassopoulos--> <HTML> <HEAD> <TITLE>Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Calcul de primitives (niveau début université)"> <META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css"> <LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css"> <LINK REL="next" HREF="node40.html"> <LINK REL="previous" HREF="node36.html"> <LINK REL="up" HREF="node35.html"> <LINK REL="next" HREF="node40.html"> </HEAD> <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html622" HREF="node40.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html616" HREF="node35.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html610" HREF="node38.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html618" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html620" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html623" HREF="node40.html">Πεπερασμένα αναπτύγματα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html617" HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas </A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html611" HREF="node38.html">Άσκηση 2</A> <B> <A NAME="tex2html619" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html621" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel--> <H2><A NAME="SECTION00072000000000000000"> Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων </A> </H2> <OL> <LI>Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:<!-- MATH \begin{displaymath} \int_1^2\frac{1}{x^3+1}dx \end{displaymath} --> <P></P> <DIV ALIGN="CENTER"> <IMG WIDTH="24" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img27.png" ALT="$\displaystyle \int_{1}^{2}$"><IMG WIDTH="45" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img28.png" ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{x^3+1}}}$"><I>dx</I> </DIV><P></P> <B>Απάντηση</B>: <BR><P> Πληκτρολογούμε: <BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> int(1/(x^3+1),x,1,2)</code> </DIV> <BR> και αφού απλοποιήσουμε το αποτέλεσμα με την συνάρτηση <code> normal </code> έχουμε <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> (pi*sqrt(3)+ln(27/64))/18</code> </DIV> <BR> Για να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα, αναλύουμε το αρχικό κλάσμα σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογώντας: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> partfrac(1/(1+t^3))</code> </DIV> <BR> Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> 1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)</code> </DIV> <BR> και ολοκληρώνοντας κάθε όρο ξεχωριστά βλέπουμε πως το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι σωστό... <P> </LI> <LI>Στο <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="img13.png" ALT="$ \mathbb {R}$"> αναλύσετε το <!-- MATH $\displaystyle \frac{t^2}{1-t^4}$ --> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img29.png" ALT="$\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$"> σε μερικά (ή απλά) κλάσματα, και υπολογίστε τα ολοκλήρώματα <!-- MATH $\displaystyle \int \frac{t^2}{1-t^4}dt\$ --> <IMG WIDTH="17" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img30.png" ALT="$\displaystyle \int$"><IMG WIDTH="43" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img29.png" ALT="$\displaystyle {\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$"><I>dt</I> και <!-- MATH $\displaystyle\int \frac{\sin(x)^2}{\cos(2x)}dx$ --> <IMG WIDTH="17" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img30.png" ALT="$\displaystyle \int$"><IMG WIDTH="55" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="img31.png" ALT="$\displaystyle {\frac{{\sin(x)^2}}{{\cos(2x)}}}$"><I>dx</I> <BR><B>Απάντηση</B>: <BR><P> Για την ανάλυση σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογούμε: <BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> partfrac(t^2/(1-t^4))</code> </DIV> <BR> και το αποτέλεσμα είναι: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)</code> </DIV> <BR> Για το πρώτο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε είτε το ανάπτυγμα: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)</code> </DIV><BR> είτε την αρχική παράσταση: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>int(t^2/(1-t^4),t)</code> </DIV><BR> και το αποτέλεσμα είναι: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>-1/2*atan(t)+1/4*ln(abs(t+1))-1/4*ln(abs(t-1))</code> </DIV> <BR> Για το δεύτερο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε: <BR> <BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code> normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))</code> </DIV> <BR> και το αποτέλεσμα είναι: <BR> <BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>-1/2*x-(-1)/4*ln(abs(tan(x)+1))-1/4*ln(abs(tan(x)-1))</code> </DIV> <BR> Ακόμα αν θέλουμε μπορούμε να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής tan(<I>x</I>) = <I>t</I> για να πάρουμε την έκφραση συναρτήσει της εφαπτομένης. Προς τον σκοπό αυτό πληκτρολογούμε, <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))</code> </DIV><BR> και παίρνουμε: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>(-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)</code> </DIV> <BR> Για να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής <I>x</I> =atan(<I>t</I>) πληκτρολογούμε είτε: <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))</code> </DIV> <BR> είτε <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))</code> </DIV> <BR> και παίρνουμε <BR><BR> <DIV ALIGN="CENTER"> <code>integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)</code> </DIV> <BR> </LI> </OL> <P> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html622" HREF="node40.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html616" HREF="node35.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html610" HREF="node38.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html618" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html620" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html623" HREF="node40.html">Πεπερασμένα αναπτύγματα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html617" HREF="node35.html">Ασκήσεις λυμένες με το Xcas </A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html611" HREF="node38.html">Άσκηση 2</A> <B> <A NAME="tex2html619" HREF="node46.html">Πίνακας των περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html621" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart </ADDRESS> Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας </BODY> </HTML>