Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων

1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
   $$\int_{1}^{2}$$$${\frac{{1}}{{x^3+1}}}$$dx
   Απάντηση:
   

   Πληκτρολογούμε:
   

   int(1/(x^3+1),x,1,2)
   
   και αφού απλοποιήσουμε το αποτέλεσμα με την συνάρτηση normal έχουμε
   
   
   (pi*sqrt(3)+ln(27/64))/18
   
   Για να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα, αναλύουμε το αρχικό κλάσμα σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογώντας:
   
   
   partfrac(1/(1+t^3))
   
   Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι:
   
   
   1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
   
   και ολοκληρώνοντας κάθε όρο ξεχωριστά βλέπουμε πως το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι σωστό...

2. Στο $\mathbb {R}$ αναλύσετε το $${\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$$ σε μερικά (ή απλά) κλάσματα, και υπολογίστε τα ολοκλήρώματα $$\int$$$${\frac{{t^2}}{{1-t^4}}}$$dt  και $$\int$$$${\frac{{\sin(x)^2}}{{\cos(2x)}}}$$dx
   Απάντηση:
   

   Για την ανάλυση σε μερικά (ή απλά) κλάσματα πληκτρολογούμε:
   

   partfrac(t^2/(1-t^4))
   
   και το αποτέλεσμα είναι:
   
   
   -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
   
   Για το πρώτο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε είτε το ανάπτυγμα:
   
   
   int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
   
   είτε την αρχική παράσταση:
   
   
   int(t^2/(1-t^4),t)
   
   και το αποτέλεσμα είναι:
   
   
   -1/2*atan(t)+1/4*ln(abs(t+1))-1/4*ln(abs(t-1))
   
   Για το δεύτερο ολοκλήρωμα πληκτρολογούμε:
   
   
   normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
   
   και το αποτέλεσμα είναι:
   
   
   -1/2*x-(-1)/4*ln(abs(tan(x)+1))-1/4*ln(abs(tan(x)-1))
   
   Ακόμα αν θέλουμε μπορούμε να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής tan(x) = t για να πάρουμε την έκφραση συναρτήσει της εφαπτομένης. Προς τον σκοπό αυτό πληκτρολογούμε,
   
   
   trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
   
   και παίρνουμε:
   
   
   (-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
   
   Για να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x =atan(t) πληκτρολογούμε είτε:
   
   
   subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
   
   είτε
   
   
   subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
   
   και παίρνουμε
   
   
   integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
   
   

Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας