node37.html 14.4 KB
Edit Raw Blame History

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Άσκηση 1η</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Exercice 1">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="next" HREF="node38.html">
<LINK REL="previous" HREF="node36.html">
<LINK REL="up" HREF="node36.html">
<LINK REL="next" HREF="node38.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html596"
  HREF="node38.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html590"
  HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html584"
  HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html592"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html594"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html597"
  HREF="node38.html">Άσκηση 2η</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html591"
  HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html585"
  HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html593"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html595"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H3><A NAME="SECTION00071100000000000000">
Άσκηση 1η</A>
</H3>
Έστω η (πραγματική) συνάρτηση  <I>f</I>  από το <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img13.png"
 ALT="$ \mathbb {R}$">-{3} στο <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img13.png"
 ALT="$ \mathbb {R}$">
που ορίζεται ως:
<!-- MATH
 \begin{displaymath}
f(x)=(x+1)\ln|x-3|
\end{displaymath}
 -->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>f</I> (<I>x</I>) = (<I>x</I> + 1)ln| <I>x</I> - 3|.
</DIV><P></P>

<OL>
<LI>Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο  <I>f'</I>(<I>x</I>) και την δεύτερη
παράγωγο
<I>f''</I>(<I>x</I>) της  <I>f</I>(<I>x</I>).
</LI>
<BR>
<LI>Υπολογίστε τα όρια της  <I>f'</I>(<I>x</I>) στο - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$"> και στο 3 από αριστερά.
</LI>
<BR>
<LI>Αποδείξτε ότι η  <I>f'</I>(<I>x</I>) μηδενίζεται μία φορά, στο σημείο
 <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$"> του ανοικτού διαστήματος <!-- MATH
 $]-\infty;3[$
 -->
] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, 3[.
Υπολογίστε το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">.
</LI>
<BR>
<LI>Μελετήστε το πρόσημο της  <I>f'</I>(<I>x</I>) στο <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img13.png"
 ALT="$ \mathbb {R}$">-{3} και συμπεράνετε τις μεταβολές της  <I>f</I>(<I>x</I>).
</LI>
<BR>
<LI>Σχεδιάστε την γραφική παράσταση <I>C</I> της <I>f</I>(<I>x</I>)
σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (μονάδος 1<I>cm</I>).
</LI>
<BR>
<LI>Υπολογίστε, σε <I>cm</I><SUP>2</SUP>,  το εμβαδόν της περιοχής
με σύνορα την καμπύλη <I>C</I>, τον άξονα  των <I>x</I>
 και τις ευθείες με εξισώσεις <I>x</I> = - 1 και <I>x</I> = 2.
</LI>
</OL>

<P>
<B>Απαντήσεις</B>

<OL>
<LI>Για να ορίσουμε την συνάρτηση  <I>f</I>(<I>x</I>) πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))</code>
</DIV>
<BR>
Για την συνάρτηση   <I>f'</I>(<I>x</I>) πρώτα πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f1:=function_diff(f):;</code>
</DIV>
<BR>
και στην συνέχεια,
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f1(x)</code>
</DIV>
<BR>
για να πάρουμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)</code>

</DIV>
<BR>

Άρα<!-- MATH
 $\displaystyle f'(x)=\ln(|x-3|)+\frac{x+1}{x-3}$
 -->
<I>f'</I>(<I>x</I>) = ln(| <I>x</I> - 3|) + <IMG
 WIDTH="39" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img19.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{x+1}}{{x-3}}}$">.
<BR>

Τέλος, για την συνάρτηση  <I>f''</I>(<I>x</I>) πρώτα πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f2:=function_diff(f1):;</code>

</DIV>
<BR>

και στην συνέχεια,
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f2(x)</code>

</DIV>
για να πάρουμε :
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))</code>

</DIV>
<BR>

Την τελευταία παράσταση μπορούμε να την  απλοποιήσουμε πληκτρολογώντας
πρώτα:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> normal(f2(x))</code>

</DIV>
για να πάρουμε :
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> (x-7)/(x^2-6*x+9)</code>

</DIV>
<BR>

και στην συνέχεια την παραγοντοποιούμε, πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> factor(f2(x))</code>

</DIV>
για να πάρουμε :
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>(x-7)/((x-3)^2)</code>

</DIV>
<BR>
Άρα<!-- MATH
 $\displaystyle f''(x)= \frac{x-7}{(x-3)^2}$
 -->
<I>f''</I>(<I>x</I>) = <IMG
 WIDTH="58" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img20.png"
 ALT="$\displaystyle {\frac{{x-7}}{{(x-3)^2}}}$">


<P>
</LI>
<LI>Για να βρούμε το όριο της  <I>f'</I>(<I>x</I>) στο - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$"> πληκτρολογούμε:
 <BR>
<BR>

<DIV ALIGN="CENTER">
<code> limit(f1(x),x,-infinity)</code>

</DIV>
<BR>

και βλέπουμε πως είναι το +άπειρο :
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> +infinity</code>

</DIV>
<BR>
Για να πάρουμε το όριο της <I>f'</I>(<I>x</I>) στο 3 από
αριστερά πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> limit(f1(x),x,3,-1)</code>

</DIV>

<BR>
και βλέπουμε πως είναι το -άπειρο:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> -infinity</code>

</DIV>
<BR>
</LI>
<LI>
Προσέξτε πως
η  <I>f''</I>(<I>x</I>) &lt; 0 στο διάστημα <!-- MATH
 $]-\infty;3[$
 -->
] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, 3[, με συνέπεια η
  <I>f'</I>(<I>x</I>) να είναι συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα
  αυτό. Επιπλέον είδαμε στην δεύτερη ερώτηση πως οι τιμές της
<I>f'</I>(<I>x</I>) στα άκρα του διαστήματος <!-- MATH
 $]-\infty;3[$
 -->
] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, 3[ είναι αντίθετες.
  Υπάρχει λοιπόν ένα μοναδικό <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">
στο διάστημα <!-- MATH
 $]-\infty;3[$
 -->
] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, 3[ έτσι ώστε <!-- MATH
 $f'(\alpha)=0$
 -->
<I>f'</I>(<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">) = 0.
<BR>
Για να βρούμε την προσεγγιστική τιμή του<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$"> πληκτρολογούμε:
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> fsolve(f1(x),x)</code>

</DIV>
<BR>
και βλέπουμε πως το <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$"> είναι :

<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 0.776592890991</code>

</DIV>
<BR>

Για να βρούμε τώρα το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το
<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$"> πληκτρολογούμε:
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> [f1(0.7), f1(0.8)]</code>

</DIV>
<BR>
και παίρνουμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> [0.0937786881525,-0.0297244578175] </code>

</DIV>
<BR>

Βλέπουμε λοιπόν πως <I>f'</I>(<I>0.7</I>) = <I>f</I>1(0.7) &gt; 0 και
<I>f'</I>(<I>0.8</I>) = <I>f</I>1(0.8) &lt; 0, και άρα <!-- MATH
 $0.7<\alpha<0;8$
 -->
0.7 &lt; <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$"> &lt; 0;8.
</LI>
<BR>
<LI>Επειδή <I>f''</I>(7) = 0, βλέπουμε πως το ελάχιστο της
<I>f'</I>(<I>x</I>) στο διάστημα <!-- MATH
 $]3;+\infty[$
 -->
]3, + <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">[  είναι <I>f'</I>(<I>7</I>). Πληκτρολογώντας:
 <BR>
 <BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f1(7)</code>

</DIV>
 <BR>
παίρνουμε:
<BR>
 <BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> ln(4)+2</code>

</DIV>
<BR>

που σημαίνει πως το ελάχιστο της <I>f'</I>(<I>x</I>) στο<!-- MATH
 $]3;+\infty[$
 -->
]3, + <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">[ είναι  θετικό.

Άρα <I>f'</I>(<I>x</I>) &gt; 0 εάν <!-- MATH
 $x \in\ ]-\infty;\alpha[\  \cup \ ]3;+\infty[\$
 -->
<I>x</I> <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img21.png"
 ALT="$ \in$"> &nbsp;] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">[&nbsp; <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img22.png"
 ALT="$ \cup$"> &nbsp;]3, + <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">[&nbsp;
και <I>f'</I>(<I>x</I>) &lt; 0 εάν <!-- MATH
 $x \in\ ]\alpha;3[$
 -->
<I>x</I> <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img21.png"
 ALT="$ \in$"> &nbsp;]<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">, 3[ και συνεπώς
 η  <I>f</I>(<I>x</I>) είναι αύξουσα στο  <!-- MATH
 $\ ]-\infty;\alpha[\   \cup \ ]3;+\infty[\$
 -->
&nbsp;] - <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">, <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">[&nbsp; <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img22.png"
 ALT="$ \cup$"> &nbsp;]3, + <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">[&nbsp; και
είναι φθίνουσα στο<!-- MATH
 $\ ]\alpha;3[$
 -->
&nbsp;]<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img18.png"
 ALT="$ \alpha$">, 3[.
</LI>
<LI>
Για να σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της <I>f</I>(<I>x</I>)
 και των δύο ευθειών <I>x</I> = - 1 και <I>x</I> = 2, πληκτρολογούμε:
 <BR>
 <BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> plotfunc(f(x),x=-14..14);line(x=-1);line(x=2)</code>

</DIV>
<BR>
</LI>
<LI>Για να βρούμε το εμβαδόν της καθορισμένης περιοχής σε <I>cm</I><SUP>2</SUP>
πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> integrate(f(x),x,-1,2)</code>

</DIV>
<BR>
και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 8*ln(4)-12+15/4</code>

</DIV>
<BR>
το οποίο στην συνέχεια φέρνουμε στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> normal(8*ln(4)-12+15/4))</code>

</DIV>
<BR>
για να πάρουμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 8*ln(4)-33/4</code>

</DIV>
<BR>
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι  <!-- MATH
 $(8*\ln(4)-33/4) cm^2$
 -->
(8*ln(4) - 33/4)<I>cm</I><SUP>2</SUP>;
</LI>
</OL>

<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html596"
  HREF="node38.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html590"
  HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html584"
  HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html592"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html594"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html597"
  HREF="node38.html">Άσκηση 2η</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html591"
  HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html585"
  HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html593"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html595"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
  <BR>
  <BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>