Άσκηση 1η

Έστω η (πραγματική) συνάρτηση f από το $\mathbb {R}$-{3} στο $\mathbb {R}$ που ορίζεται ως:

f (x) = (x + 1)ln| x - 3|.

1. Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο f'(x) και την δεύτερη παράγωγο f''(x) της f(x).


2. Υπολογίστε τα όρια της f'(x) στο - $\infty$ και στο 3 από αριστερά.


3. Αποδείξτε ότι η f'(x) μηδενίζεται μία φορά, στο σημείο $\alpha$ του ανοικτού διαστήματος ] - $\infty$, 3[. Υπολογίστε το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το $\alpha$.


4. Μελετήστε το πρόσημο της f'(x) στο $\mathbb {R}$-{3} και συμπεράνετε τις μεταβολές της f(x).


5. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση C της f(x) σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (μονάδος 1cm).


6. Υπολογίστε, σε cm², το εμβαδόν της περιοχής με σύνορα την καμπύλη C, τον άξονα των x και τις ευθείες με εξισώσεις x = - 1 και x = 2.

Απαντήσεις

1. Για να ορίσουμε την συνάρτηση f(x) πληκτρολογούμε:
   
   
   f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
   
   Για την συνάρτηση f'(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
   
   
   f1:=function_diff(f):;
   
   και στην συνέχεια,
   
   
   f1(x)
   
   για να πάρουμε:
   
   
   ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
   
   Άρα f'(x) = ln(| x - 3|) + $${\frac{{x+1}}{{x-3}}}$$.
   Τέλος, για την συνάρτηση f''(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
   
   
   f2:=function_diff(f1):;
   
   και στην συνέχεια,
   
   
   f2(x)
   για να πάρουμε :
   
   
   1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
   
   Την τελευταία παράσταση μπορούμε να την απλοποιήσουμε πληκτρολογώντας πρώτα:
   
   
   normal(f2(x))
   για να πάρουμε :
   
   
   (x-7)/(x^2-6*x+9)
   
   και στην συνέχεια την παραγοντοποιούμε, πληκτρολογώντας:
   
   
   factor(f2(x))
   για να πάρουμε :
   
   
   (x-7)/((x-3)^2)
   
   Άρα f''(x) = $${\frac{{x-7}}{{(x-3)^2}}}$$

2. Για να βρούμε το όριο της f'(x) στο - $\infty$ πληκτρολογούμε:
   
   
   limit(f1(x),x,-infinity)
   
   και βλέπουμε πως είναι το +άπειρο :
   
   
   +infinity
   
   Για να πάρουμε το όριο της f'(x) στο 3 από αριστερά πληκτρολογούμε:
   
   
   limit(f1(x),x,3,-1)
   
   και βλέπουμε πως είναι το -άπειρο:
   
   
   -infinity
   
   
3. Προσέξτε πως η f''(x) < 0 στο διάστημα ] - $\infty$, 3[, με συνέπεια η f'(x) να είναι συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Επιπλέον είδαμε στην δεύτερη ερώτηση πως οι τιμές της f'(x) στα άκρα του διαστήματος ] - $\infty$, 3[ είναι αντίθετες. Υπάρχει λοιπόν ένα μοναδικό $\alpha$ στο διάστημα ] - $\infty$, 3[ έτσι ώστε f'($\alpha$) = 0.
   Για να βρούμε την προσεγγιστική τιμή του$\alpha$ πληκτρολογούμε:
   fsolve(f1(x),x)
   
   και βλέπουμε πως το $\alpha$ είναι :
   
   0.776592890991
   
   Για να βρούμε τώρα το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το $\alpha$ πληκτρολογούμε:
   [f1(0.7), f1(0.8)]
   
   και παίρνουμε:
   
   
   [0.0937786881525,-0.0297244578175]
   
   Βλέπουμε λοιπόν πως f'(0.7) = f1(0.7) > 0 και f'(0.8) = f1(0.8) < 0, και άρα 0.7 < $\alpha$ < 0;8.


4. Επειδή f''(7) = 0, βλέπουμε πως το ελάχιστο της f'(x) στο διάστημα ]3, + $\infty$[ είναι f'(7). Πληκτρολογώντας:
   
   
   f1(7)
   
   παίρνουμε:
   
   
   ln(4)+2
   
   που σημαίνει πως το ελάχιστο της f'(x) στο ]3, + $\infty$[ είναι θετικό. Άρα f'(x) > 0 εάν x $\in$  ] - $\infty$, $\alpha$[  $\cup$  ]3, + $\infty$[  και f'(x) < 0 εάν x $\in$  ]$\alpha$, 3[ και συνεπώς η f(x) είναι αύξουσα στο  ] - $\infty$, $\alpha$[  $\cup$  ]3, + $\infty$[  και είναι φθίνουσα στο  ]$\alpha$, 3[.
5. Για να σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της f(x) και των δύο ευθειών x = - 1 και x = 2, πληκτρολογούμε:
   
   
   plotfunc(f(x),x=-14..14);line(x=-1);line(x=2)
   
   
6. Για να βρούμε το εμβαδόν της καθορισμένης περιοχής σε cm² πληκτρολογούμε:
   
   
   integrate(f(x),x,-1,2)
   
   και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
   
   
   8*ln(4)-12+15/4
   
   το οποίο στην συνέχεια φέρνουμε στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
   
   
   normal(8*ln(4)-12+15/4))
   
   για να πάρουμε:
   
   
   8*ln(4)-33/4
   
   Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι (8*ln(4) - 33/4)cm²;

Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας