Άσκηση 2η

Έστω η (πραγματική) συνάρτηση f από το $\mathbb {R}$ στο $\mathbb {R}$ που ορίζεται ως:

f (x) = $${\frac{{\exp(x)^2-\exp(x)+1}}{{\exp(x)^3+\exp(x)}}}$$.

1. Αποδείξτε ότι για κάθε x $\in$ $\mathbb {R}$, P(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² + 1 $\geq$ 1.
2. Μελετήστε τις μεταβολές της f(x) και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση.


3. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη x = 0.

Απαντήσεις

1. Για να αποδείξουμε ότι για κάθε x $\in$ $\mathbb {R}$, P(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² + 1 $\geq$ 1, πληκτρολογούμε πρώτα:
   
   
   P(x):=x^4-2*x^3+2*x^2+1
   
   κατόπιν
   
   
   factor(P(x)-1)
   
   και έχουμε σαν αποτέλεσμα:
   
   
   (x^2-2*x+2)*x^2
   
   Στην συνέχεια φέρνουμε το τριώνυμο x² - 2x + 2 στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
   
   
   canonical_form(x^2-2*x+2)
   
   και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
   
   
   (x-1)^2+1
   
   Επειδή δε για κάθε x $\in$ $\mathbb {R}$, ισχύει P(x) - 1 = x⁴ - 2x³ + 2x² = x²*(x - 1)² + x² $\geq$ 0, συμπεραίνουμε πως για κάθε x $\in$ $\mathbb {R}$, P(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² + 1 $\geq$ 1.

2. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο της f(x) στην κανονική της (ή απλοποιημένη) μορφή πληκτρολογούμε:
   
   
   normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))
   
   και βλέπουμε πως το αποτέλεσμα είναι:
   
   
   (-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/ ((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))

   Παρατηρούμε πως ο αριθμητής της παραπάνω παράστασης είναι πάντα αρνητικός διότι είναι ίσος με - P(exp(x)), ενώ ο παρανομαστής της είναι πάντα θετικός διότι είναι ίσος με ένα άθροισμα αριθμών θετικών. Η συνάρτηση f(x) είναι λοιπόν φθίνουσα.
   Για να βρούμε το όριο της f(x) στο + $\infty$, πληκτρολογούμε:
   

   limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)
   
   και παίρνουμε :
   
   
   0
   
   Για να βρούμε το όριο της f(x) στο - $\infty$, πληκτρολογούμε:
   
   
   limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)
   
   και παίρνουμε:
   
   
   infinity
   
   Για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της f(x), πληκτρολογούμε:
   
   
   plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)

3. Όπως ξέρουμε, η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f(x) στο σημείο με τετμημένη x = 0 είναι y = f' (0)*x + f (0). Πρέπει λοιπόν να ορίσουμε τις συναρτήσεις f(x) και f' (x).

   Για να ορίσουμε την συνάρτηση f(x), πληκτρολογούμε:
   

   f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))
   
   και κατόπιν εύκολα υπολογίζουμε την τιμή f (0) πληκτρολογώντας:
   
   
   f(0)
   
   για να πάρουμε
   $${\frac{{1}}{{2}}}$$
   Στην συνέχεια ορίζουμε την συνάρτηση, df, της παραγώγου της f(x), πληκτρολογώντας είτε (προσέξτε πως τις συναρτήσεις df και f τις γράφουμε χωρίς την μεταβλητή x, ενώ με την normal απλοποιούμε την παράσταση):
   
   
   df:=normal(function_diff(f))
   
   είτε
   
   
   df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)
   
   και υπολογίζουμε την df (0), πληκτρολογώντας:
   
   
   df(0)
   
   για να πάρουμε:
   - $${\frac{{1}}{{2}}}$$
   Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη x = 0 είναι: y = - $${\frac{{1}}{{2}}}$$x + $${\frac{{1}}{{2}}}$$.
   Αυτό το επιβεβαιώνουμε πληκτρολογώντας:
   
   
   εξίσωση_καμπύλης(εφαπτομένη_σε_συνάρτηση(f(x),0))
   
   διότι παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα: y = - $${\frac{{1}}{{2}}}$$x + $${\frac{{1}}{{2}}}$$.
   
   

Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας