<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others
Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Άσκηση 2η</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Exercice 2">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">
<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">
<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">
<LINK REL="previous" HREF="node37.html">
<LINK REL="up" HREF="node36.html">
<LINK REL="next" HREF="node39.html">
</HEAD>
<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html608"
HREF="node39.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next"
SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html602"
HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up"
SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html598"
HREF="node37.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous"
SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html604"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html606"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html609"
HREF="node39.html">Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων </A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html603"
HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html599"
HREF="node37.html">Άσκηση 1η</A>
<B> <A NAME="tex2html605"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html607"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<H3><A NAME="SECTION00071200000000000000">
Άσκηση 2η</A>
</H3>
Έστω η (πραγματική) συνάρτηση <I>f</I> από το <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$"> στο <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$"> που ορίζεται ως:
<!-- MATH
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{\exp(x)^2-\exp(x)+1}{\exp(x)^3+\exp(x)}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>f</I> (<I>x</I>) = <IMG
WIDTH="139" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img23.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{\exp(x)^2-\exp(x)+1}}{{\exp(x)^3+\exp(x)}}}$">.
</DIV><P></P>
<OL>
<LI>Αποδείξτε ότι για κάθε <!-- MATH
$x \in \mathbb R$
-->
<I>x</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$">, <!-- MATH
$P(x)=x^4-2x^3+2x^2+1 \geq 1$
-->
<I>P</I>(<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>4</SUP> - 2<I>x</I><SUP>3</SUP> +
2<I>x</I><SUP>2</SUP> + 1 <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 1.
</LI>
<LI>Μελετήστε τις μεταβολές της <I>f</I>(<I>x</I>)
και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση.
</LI>
<BR>
<LI> Βρείτε την εξίσωση της
εφαπτομένης της συνάρτησης <I>f</I>(<I>x</I>) στο σημείο με τετμημένη <I>x</I> = 0.
</LI>
<BR>
</OL>
<P>
<B>Απαντήσεις</B>
<OL>
<LI>Για να αποδείξουμε ότι για κάθε <!-- MATH
$x \in \mathbb R$
-->
<I>x</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$">, <!-- MATH
$P(x)=x^4-2x^3+2x^2+1 \geq 1$
-->
<I>P</I>(<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>4</SUP> - 2<I>x</I><SUP>3</SUP> +
2<I>x</I><SUP>2</SUP> + 1 <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 1, πληκτρολογούμε πρώτα:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>P(x):=x^4-2*x^3+2*x^2+1</code>
</DIV>
<BR>
κατόπιν
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> factor(P(x)-1)</code>
</DIV>
<BR>
και έχουμε σαν αποτέλεσμα:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> (x^2-2*x+2)*x^2</code>
</DIV>
<BR>
Στην συνέχεια φέρνουμε το τριώνυμο
<I>x</I><SUP>2</SUP> - 2<I>x</I> + 2
στην κανονική
του μορφή πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> canonical_form(x^2-2*x+2)</code>
</DIV>
<BR>
και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> (x-1)^2+1</code>
</DIV>
<BR>
Επειδή δε για κάθε<!-- MATH
$x \in \mathbb R$
-->
<I>x</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$">, ισχύει <!-- MATH
$x^4-2x^3+2x^2=x^2*(x-1)^2+x^2 \geq 0$
-->
<I>P</I>(<I>x</I>) - 1 = <I>x</I><SUP>4</SUP> - 2<I>x</I><SUP>3</SUP> +
2<I>x</I><SUP>2</SUP> = <I>x</I><SUP>2</SUP>*(<I>x</I> - 1)<SUP>2</SUP> +
<I>x</I><SUP>2</SUP> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 0, συμπεραίνουμε πως για κάθε<!-- MATH
$x \in \mathbb R$
-->
<I>x</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$">, <!-- MATH
$P(x)=x^4-2x^3+2x^2+1 \geq 1$
-->
<I>P</I>(<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>4</SUP> - 2<I>x</I><SUP>3</SUP> +
2<I>x</I><SUP>2</SUP> + 1 <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 1.
<P>
</LI>
<LI>Για να υπολογίσουμε την παράγωγο της <I>f</I>(<I>x</I>)
στην κανονική της (ή απλοποιημένη) μορφή πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))</code>
</DIV>
<BR>
και βλέπουμε πως το αποτέλεσμα είναι:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>(-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/</code>
<code>((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))</code>
</DIV>
<P>
Παρατηρούμε πως ο αριθμητής της παραπάνω παράστασης
είναι πάντα αρνητικός διότι είναι ίσος με <!-- MATH
$-P(\exp(x))$
-->
- <I>P</I>(exp(<I>x</I>)), ενώ ο
παρανομαστής της είναι πάντα θετικός διότι είναι ίσος με
ένα άθροισμα αριθμών
θετικών. Η συνάρτηση <I>f</I>(<I>x</I>) είναι λοιπόν φθίνουσα.
<BR>
Για να βρούμε το όριο της <I>f</I>(<I>x</I>) στο + <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img6.png"
ALT="$ \infty$">, πληκτρολογούμε:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)</code>
</DIV>
<BR>
και παίρνουμε :
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> 0</code>
</DIV>
<BR>
Για να βρούμε το όριο της <I>f</I>(<I>x</I>) στο - <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img6.png"
ALT="$ \infty$">, πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)</code>
</DIV>
<BR>
και παίρνουμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> infinity</code>
</DIV>
<BR>
Για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της <I>f</I>(<I>x</I>),
πληκτρολογούμε:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)</code>
</DIV>
<P>
</LI>
<LI>Όπως ξέρουμε, η εξίσωση της
εφαπτομένης της συνάρτησης f</I>(<I>x</I>) στο σημείο με τετμημένη
<I>x</I> = 0 είναι
<I>y</I> = <I>f'</I> (0)*<I>x</I> + <I>f</I> (0). Πρέπει λοιπόν να
ορίσουμε τις συναρτήσεις <I>f</I>(<I>x</I>) και
<I>f'</I> (<I>x</I>).
<P>
Για να ορίσουμε την συνάρτηση <I>f</I>(<I>x</I>), πληκτρολογούμε:
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))</code>
</DIV>
<BR>
και κατόπιν εύκολα υπολογίζουμε την τιμή <I>f</I> (0) πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> f(0)</code>
</DIV>
<BR>
για να πάρουμε
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$">
</DIV><P></P>
Στην συνέχεια ορίζουμε την συνάρτηση, <I>df</I>, της παραγώγου
της <I>f</I>(<I>x</I>), πληκτρολογώντας είτε
(προσέξτε πως τις συναρτήσεις <I>df</I> και <I>f</I> τις γράφουμε
χωρίς την μεταβλητή
<I>x</I>, ενώ με την <code>normal</code> απλοποιούμε την παράσταση):
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>
df:=normal(function_diff(f))</code>
</DIV>
<BR>
είτε
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)</code>
</DIV>
<BR>
και υπολογίζουμε την <I>df</I> (0), πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code> df(0)</code>
</DIV>
<BR>
για να πάρουμε:
<!-- MATH
\begin{displaymath}
-\frac{1}{2}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
- <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$">
</DIV><P></P>
Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη <I>x</I> = 0 είναι:
<!-- MATH
$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
-->
<I>y</I> = - <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$"><I>x</I> + <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$">.
<BR>
Αυτό το επιβεβαιώνουμε πληκτρολογώντας:
<BR>
<BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
<code>εξίσωση_καμπύλης(εφαπτομένη_σε_συνάρτηση(f(x),0))</code>
</DIV>
<BR>
διότι παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα: <!-- MATH
$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
-->
<I>y</I> = - <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$"><I>x</I> + <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$">.
<BR><BR>
<DIV ALIGN="CENTER">
</DIV>
</OL>
<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html608"
HREF="node39.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html602"
HREF="node36.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html598"
HREF="node37.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html604"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html606"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html609"
HREF="node39.html">Υπολογισμός αορίστων ολοκληρωμάτων </A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html603"
HREF="node36.html">Συνάρτηση και γραφική παράσταση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html599"
HREF="node37.html">Άσκηση 1η</A>
<B> <A NAME="tex2html605"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html607"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>