adorian / PFE_28

node16.html 7.77 KB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Limites et d&#233;veloppements limit&#233;s">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="next" HREF="node17.html">
<LINK REL="previous" HREF="node15.html">
<LINK REL="up" HREF="node14.html">
<LINK REL="next" HREF="node17.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html289"
  HREF="node17.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> 
<A NAME="tex2html283"
  HREF="node14.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> 
<A NAME="tex2html277"
  HREF="node15.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> 
<A NAME="tex2html285"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> 
<A NAME="tex2html287"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> 
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html290"
  HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html284"
  HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html278"
  HREF="node15.html">Παράγωγοι</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html286"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> 
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html288"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> 
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H2><A NAME="SECTION00032000000000000000">
Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</A>
</H2>
Η συνάρτηση  <code>limit</code> 
υπολογίζει τα πεπερασμένα ή άπειρα όρια,
 όταν αυτά υπάρχουν.
Μπορούμε να υπολογίσουμε ένα όριο από αριστερά ή από δεξιά με την βοήθεια 
ενός τέταρτου ορίσματος (-1 ή 1, αντίστοιχα). 
Όταν η συνάρτηση εξαρτάται από  μία παράμετρο, το όριο που υπολογίζουμε 
εξαρτάται από τις υποθέσεις που κάνουμε,
με την συνάρτηση <TT>assume</TT>, στην παράμετρο αυτή. 
<A NAME="1644"></A>
<A NAME="375"></A>
<A NAME="376"></A>
<A NAME="377"></A>
<PRE>
limit(1/x,x,0)
limit(1/x,x,0,1)
limit(1/x,x,0,-1)
limit(a/x,x,0,1)
assume(a&gt;0)
limit(a/x,x,0,1)
</PRE>
Για τα πεπερασμένα αναπτύγματα, υπάρχουν δύο συναρτήσεις διαθέσιμες: 
<code>series</code> και <code>taylor</code>, 
που δουλεύουν μόνο όταν οι <code>Ρυθμίσεις 
Cas</code> του <code>Xcas</code> είναι σε ακτίνια. 
Η διαφορά τους είναι ότι ο βαθμός του αναπτύγματος πρέπει να καθοριστεί 
στην <code>series</code>, 
ενώ  για την <code>taylor</code> είναι εξ ορισμού 6. 
<A NAME="380"></A>
<A NAME="1645"></A>
<A NAME="1646"></A>

<P>
Ο βαθμός του  αναπτύγματος που δίνεται σαν όρισμα 
χρησιμοποιείται από το
<TT>Xcas</TT> για να κάνει τα αναπτύγματα.
Σε περίπτωση απλοποιήσεων, ο βαθμός του αναπτύγματος 
που παίρνουμε μπορεί να είναι μικρότερος του επιθυμητού, 
οπότε θα πρέπει να ξαναϋπολογίσουμε το ανάπτυγμα με  πιο μεγάλο βαθμό.
Η παράσταση που επιστρέφεται σαν αποτέλεσμα αποτελείται από το πολυώνυμο 
Taylor, και από κάποιο υπόλοιπο της μορφής 
<I>x</I><SUP>a</SUP><code>*</code> <code>order_size</code>(<I>x</I>), 
όπου για κάθε <I>a</I> &gt;0, η συνάρτηση 
<I>x</I><SUP>a</SUP><code>*</code> <code>order_size</code>(<I>x</I>)  τείνει στο 0
όταν το  <I>x</I> τείνει στο 0. Για να διαγράψουμε το υπόλοιπο και να 
κρατήσουμε μόνο το πολυώνυμο Taylor, 
μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση <code>convert</code> με την επιλογή 
<TT>polynom</TT>.
<PRE>
taylor(1/(x^2+1),0)
taylor(1/(x^2+a^2),x=0)
series(1/(x^2+1),0,11)
series(1/(x^2+1),+infinity,11)
series(tan(x),pi/4,3)
series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,4)
series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,6)
series(tan(sin(x))-sin(tan(x)),0,13)
convert(ans(),polynom)
series(f(x),0,3)
g:=f@f; series(g(x),0,2)

</PRE>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1">
<TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</B></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a)</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">όριo στο a</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a,1)</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">όριο στo a από δεξιά</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a,-1)</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">όριο στo a από αριστερά</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>taylor(ex,a)</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">πεπερασμένο ανάπτυγμα στο <I>a</I> βαθμού 6</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>series(ex,a,n)</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">πεπερασμένο ανάπτυγμα στο <I>a</I> βαθμού  <I>n</I></TD>
</TR>
</TABLE>
</DIV>

<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html289"
  HREF="node17.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> 
<A NAME="tex2html283"
  HREF="node14.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> 
<A NAME="tex2html277"
  HREF="node15.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> 
<A NAME="tex2html285"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> 
<A NAME="tex2html287"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> 
<BR>
<B> επόμενα:</B> <A NAME="tex2html290"
  HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html284"
  HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html278"
  HREF="node15.html">Παράγωγοι</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html286"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> 
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html288"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>  
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>