<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70) original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from: Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others Translation to greek : George Nassopoulos--> <HTML> <HEAD> <TITLE>Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Limites et développements limités"> <META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css"> <LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css"> <LINK REL="next" HREF="node17.html"> <LINK REL="previous" HREF="node15.html"> <LINK REL="up" HREF="node14.html"> <LINK REL="next" HREF="node17.html"> </HEAD> <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html289" HREF="node17.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html283" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html277" HREF="node15.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html285" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html287" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html290" HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html284" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html278" HREF="node15.html">Παράγωγοι</A> <B> <A NAME="tex2html286" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html288" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel--> <H2><A NAME="SECTION00032000000000000000"> Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</A> </H2> Η συνάρτηση <code>limit</code> υπολογίζει τα πεπερασμένα ή άπειρα όρια, όταν αυτά υπάρχουν. Μπορούμε να υπολογίσουμε ένα όριο από αριστερά ή από δεξιά με την βοήθεια ενός τέταρτου ορίσματος (-1 ή 1, αντίστοιχα). Όταν η συνάρτηση εξαρτάται από μία παράμετρο, το όριο που υπολογίζουμε εξαρτάται από τις υποθέσεις που κάνουμε, με την συνάρτηση <TT>assume</TT>, στην παράμετρο αυτή. <A NAME="1644"></A> <A NAME="375"></A> <A NAME="376"></A> <A NAME="377"></A> <PRE> limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0,1) limit(1/x,x,0,-1) limit(a/x,x,0,1) assume(a>0) limit(a/x,x,0,1) </PRE> Για τα πεπερασμένα αναπτύγματα, υπάρχουν δύο συναρτήσεις διαθέσιμες: <code>series</code> και <code>taylor</code>, που δουλεύουν μόνο όταν οι <code>Ρυθμίσεις Cas</code> του <code>Xcas</code> είναι σε ακτίνια. Η διαφορά τους είναι ότι ο βαθμός του αναπτύγματος πρέπει να καθοριστεί στην <code>series</code>, ενώ για την <code>taylor</code> είναι εξ ορισμού 6. <A NAME="380"></A> <A NAME="1645"></A> <A NAME="1646"></A> <P> Ο βαθμός του αναπτύγματος που δίνεται σαν όρισμα χρησιμοποιείται από το <TT>Xcas</TT> για να κάνει τα αναπτύγματα. Σε περίπτωση απλοποιήσεων, ο βαθμός του αναπτύγματος που παίρνουμε μπορεί να είναι μικρότερος του επιθυμητού, οπότε θα πρέπει να ξαναϋπολογίσουμε το ανάπτυγμα με πιο μεγάλο βαθμό. Η παράσταση που επιστρέφεται σαν αποτέλεσμα αποτελείται από το πολυώνυμο Taylor, και από κάποιο υπόλοιπο της μορφής <I>x</I><SUP>a</SUP><code>*</code> <code>order_size</code>(<I>x</I>), όπου για κάθε <I>a</I> >0, η συνάρτηση <I>x</I><SUP>a</SUP><code>*</code> <code>order_size</code>(<I>x</I>) τείνει στο 0 όταν το <I>x</I> τείνει στο 0. Για να διαγράψουμε το υπόλοιπο και να κρατήσουμε μόνο το πολυώνυμο Taylor, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση <code>convert</code> με την επιλογή <TT>polynom</TT>. <PRE> taylor(1/(x^2+1),0) taylor(1/(x^2+a^2),x=0) series(1/(x^2+1),0,11) series(1/(x^2+1),+infinity,11) series(tan(x),pi/4,3) series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,4) series(sin(x)^3/((1-cos(x))*tan(x)),0,6) series(tan(sin(x))-sin(tan(x)),0,13) convert(ans(),polynom) series(f(x),0,3) g:=f@f; series(g(x),0,2) </PRE> <DIV ALIGN="CENTER"> <TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1"> <TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Όρια και πεπερασμένα αναπτύγματα</B></TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">όριo στο a</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a,1)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">όριο στo a από δεξιά</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>limit(ex,x,a,-1)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">όριο στo a από αριστερά</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>taylor(ex,a)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">πεπερασμένο ανάπτυγμα στο <I>a</I> βαθμού 6</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>series(ex,a,n)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">πεπερασμένο ανάπτυγμα στο <I>a</I> βαθμού <I>n</I></TD> </TR> </TABLE> </DIV> <P> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html289" HREF="node17.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html283" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html277" HREF="node15.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html285" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html287" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενα:</B> <A NAME="tex2html290" HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html284" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html278" HREF="node15.html">Παράγωγοι</A> <B> <A NAME="tex2html286" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html288" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart </ADDRESS> Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας </BODY> </HTML>