node6.html 11.6 KB
Edit Raw Blame History

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">

<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
  Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others 
  Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Αριθμοί</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Les nombres">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">

<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">

<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">

<LINK REL="next" HREF="node7.html">
<LINK REL="previous" HREF="node5.html">
<LINK REL="up" HREF="node5.html">
<LINK REL="next" HREF="node7.html">
</HEAD>

<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html146"
  HREF="node7.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html140"
  HREF="node5.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html134"
  HREF="node5.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html142"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html144"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html147"
  HREF="node7.html">Χαρακτήρες και συμβολοσειρές</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html141"
  HREF="node5.html">Αντικείμενα των αλγεβρικών υπολογισμών</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html135"
  HREF="node5.html">Αντικείμενα των αλγεβρικών υπολογισμών</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html143"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html145"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->

<H2><A NAME="SECTION00021000000000000000"></A>
<A NAME="100"></A>
<A NAME="101"></A>
<BR>
Αριθμοί
</H2>
Οι αριθμοί μπορούν να είναι ακριβείς ή προσεγγιστικοί.
Οι ακριβείς αριθμοί είναι οι προκαθορισμένες σταθερές, οι ακέραιοι,
τα κλάσματα ακεραίων και γενικότερα κάθε παράσταση που περιέχει μόνο ακεραίους
κλάσματα και
σταθερές,
όπως <code>sqrt(2)*e^(i*pi/3)</code>.
Οι προσεγγιστικοί αριθμοί γράφονται στην επιστημονική μορφή&nbsp;:
ακέραιο μέρος ακολουθούμενο από μία τελεία διαχωρισμού και το δεκαδικό μέρος
(πιθανώς ακολουθούμενο από το <code>e</code> και ένα εκθέτη).
Παραδείγματος χάρη, ο <code>2</code> είναι η ακριβής μορφή του ακέραιου, ενώ
<code>2.0</code> (ή απλά <code>2.</code>) είναι η προσεγγιστική μορφή του ίδιου
ακεραίου.
Ανάλογα, το
<code>1/2</code> είναι η ακριβής μορφή του κλάσματος, ενώ <code>0.5</code>
είναι η προσεγγιστική μορφή του ίδιου κλάσματος.
<P>
Για να δούμε την προσεγγιστική μορφή ενός  ακεραίου, ενός κλάσματος και μιας
παράστασης (π.χ. του 2, του 1/2, και  της τετραγωνικής ρίζας του 2)
τα εισάγουμε σε μία γραμμή  γραμμή εντολών ως  <code>2 ; 1/2 ; sqrt(2)</code>
και πατάμε "Enter" για να εμφανισθούν στην αντίστοιχη γραμμή αποτελεσμάτων.
Κατοπιν κάνουμε (αριστερό) κλικ στο μενού εξίσωσης <code>Μ</code> (που
βρίσκεται στο δεξί άκρο της γραμμής αποτελεσμάτων) και επιλέγουμε πρώτα
<code>Επιλογή όλων</code> και μετά <code>Προσεγγιστικός υπολογισμός</code>.
<PRE>
2 ; 1/2 ; sqrt(2)
</PRE>
<P>
Το <TT>Xcas</TT> μπορεί να διαχειριστεί ακεραίους με απεριόριστη
ακρίβεια (απεριόριστο αριθμό ψηφίων)&nbsp;:
πληκτρολογήσετε για παράδειγμα το <code>100!</code> και μετρήστε το πλήθος
των ψηφίων της απάντησης.

<P>
Με την συνάρτηση
<code>evalf</code> μεταβαίνουμε από την ακριβή μορφή μίας παράστασης
  στην προσεγγιστική της μορφή,
και, αντίστροφα, με την εντολή <code>exact</code> μετατρέπουμε μία προσεγγιστική
παράσταση στην ακριβή της μορφή.
<A NAME="1567"></A>
<A NAME="1568"></A>
<P>
Το τελικό αποτέλεσμα μιας σειράς υπολογισμών είναι σε ακριβή μορφή εάν <B>όλα</B> τα
ενδιάμεσα αποτελέσματα  είναι σε ακριβή μορφή. Αντίθετα, το τελικό αποτέλεσμα μιας
σειράς υπολογισμών είναι σε προσεγγιστική μορφή, εάν ένα τουλάχιστον από τα
 ενδιάμεσα αποτελέσματα  είναι σε προσεγγιστική μορφή.
Δηλαδή το άθροισμα <code>1.5+1</code> είναι ένας αριθμός στην προσεγγιστική του μορφή,
ενώ το άθροισμα <code>3/2+1</code> είναι ένας αριθμός στην ακριβή του μορφή.
<PRE>
sqrt(2)
evalf(sqrt(2))
sqrt(2)-evalf(sqrt(2))
exact(evalf(sqrt(2)))*10^9
exact(evalf(sqrt(2)*10^9))
</PRE>
<A NAME="1569"></A>
<A NAME="108"></A>
Για τους προσεγγιστικούς (πραγματικούς) αριθμούς, η ακρίβεια της παράστασής τους
(δηλαδή ο αριθμός των ψηφίων στην παράστασή τους)
εξαρτάται είτε από τον αριθμό των ψηφίων που έχουμε ορίσει στις
<TT>Ρυθμίσεις Cas</TT> του <TT>Xcas</TT> είτε από την
δεύτερη παράμετρο της εντολής <code>evalf</code>.

<PRE>
evalf(sqrt(2),50)
evalf(pi,100)
</PRE>
Ορίζοντας τον αριθμό των ψηφίων στις <TT>Ρυθμίσεις Cas</TT> του <TT>Xcas</TT>
 καθορίζουμε την ακρίβεια των παραστάσεων για όλους τους επόμενους υπολογισμούς.
Ο αριθμός αυτός των ψηφίων ορίζεται είτε από το μενού
<code>Ρυθμίσεις -> Ρυθμίσεις Cas</code> (βλέπε
και το σχετικό βίντεο στην διεύθυνση
<code>http://inf-server.inf.uth.gr/~akritas/xcas.htm</code>)
 είτε από

<A NAME="1570"></A>
την μεταβλητή <code>Digits</code>.
<PRE>
Digits:=50
evalf(pi)
evalf(exp(pi*sqrt(163)))
</PRE>

<P>
<A NAME="1571"></A>
<B>Προσοχή: </B>Το γράμμα  <code>i</code> είναι προεπιλεγμένο ως <IMG
 WIDTH="37" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img5.png"
 ALT="$ \sqrt{{-1}}$"> και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κανέναν άλλο σκοπό
 (ως μεταβλητή).
<PRE>
(1+2*i)^2
(1+2*i)/(1-2*i)
e^(i*pi/3)
</PRE>
<A NAME="118"></A>
<A NAME="1572"></A>
Το <TT>Xcas</TT> ορίζει το μη προσημασμένο άπειρο ως  <code>infinity</code> (<IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">), το θετικό ως
<code>+infinity</code> ή <code>inf</code> (+ <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">) και το αρνητικό ως <code>-infinity</code>
ή <code>-inf</code>(- <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$">).
<PRE>
1/0; (1/0)^2; -(1/0)^2
<BR>
</PRE>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1">
<TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Προκαθορισμένες σταθερές</B></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>pi</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT"><!-- MATH
 $\pi\simeq 3.14159265359$
 -->
<IMG
 WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img7.png"
 ALT="$ \pi$"> <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img8.png"
 ALT="$ \simeq$"> 3.14159265359</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>e</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT"><!-- MATH
 $e\simeq 2.71828182846$
 -->
<I>e</I> <IMG
 WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img8.png"
 ALT="$ \simeq$"> 2.71828182846</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>i</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT"><!-- MATH
 $i=\sqrt{-1}$
 -->
<I>i</I> = <IMG
 WIDTH="37" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
 SRC="img5.png"
 ALT="$ \sqrt{{-1}}$"></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>infinity</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT"><IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$"></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>+infinity</code> ή <code>inf</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">+ <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$"></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>-infinity</code> ή <code>-inf</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">- <IMG
 WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
 SRC="img6.png"
 ALT="$ \infty$"></TD>
</TR>
</TABLE>
</DIV>
<A NAME="1573"></A>
<A NAME="1574"></A>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html146"
  HREF="node7.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html140"
  HREF="node5.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html134"
  HREF="node5.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html142"
  HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html144"
  HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html147"
  HREF="node7.html">Χαρακτήρες και συμβολοσειρές</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html141"
  HREF="node5.html">Αντικείμενα των αλγεβρικών υπολογισμών</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html135"
  HREF="node5.html">Αντικείμενα των αλγεβρικών υπολογισμών</A>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html143"
  HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
 &nbsp; <B>  <A NAME="tex2html145"
  HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>