<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others
Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Ασκήσεις</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Exercices (niveau université)">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">
<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">
<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">
<LINK REL="next" HREF="node45.html">
<LINK REL="previous" HREF="node43.html">
<LINK REL="up" HREF="tutoriel.html">
<LINK REL="next" HREF="node45.html">
</HEAD>
<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html690"
HREF="node45.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html684"
HREF="tutoriel.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html678"
HREF="node43.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html686"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html688"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html691"
HREF="node45.html">Πίνακας περιεχομένων και ευρετήριο</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html685"
HREF="tutoriel.html">Διδακτική παρουσίαση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html679"
HREF="node43.html">Σωστό ή λάθος;</A>
<B> <A NAME="tex2html687"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html689"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<H1><A NAME="SECTION00090000000000000000">
Ασκήσεις </A>
</H1>
<P>
<I>Υπάρχουν συχνά πολλοί τρόποι να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα στο <TT>Xcas</TT>.
Θα επιλέξουμε τις λύσεις τις πιο συμβατές.
</I>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.1</B> Ελέγξτε τις ακόλουθες ταυτότητες.
<OL>
<LI><!-- MATH
$(2^{1/3}+4^{1/3})^3-6(2^{1/3}+4^{1/3})=6$
-->
(2<SUP>1/3</SUP> +4<SUP>1/3</SUP>)<SUP>3</SUP> -6(2<SUP>1/3</SUP> +4<SUP>1/3</SUP>) = 6
</LI>
<LI><!-- MATH
$\pi /4 = 4\arctan(1/5)-\arctan(1/239)$
-->
<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
</LI>
<LI><!-- MATH
$\sin(5x) = 5\sin(x)-20\sin^3(x)+15\sin^5(x)$
-->
sin(5<I>x</I>) = 5 sin(<I>x</I>) - 20 sin<SUP>3</SUP>(<I>x</I>) + 15 sin<SUP>5</SUP>(<I>x</I>)
</LI>
<LI><!-- MATH
$(\tan(x)+\tan(y))\cos(x)\cos(y) = \sin(x+y)$
-->
(tan(<I>x</I>) + tan(<I>y</I>))cos(<I>x</I>)cos(<I>y</I>) = sin(<I>x</I> + <I>y</I>)
</LI>
<LI><!-- MATH
$\cos^6(x)+\sin^6(x) = 1-3\sin^2(x)\cos^2(x)$
-->
cos<SUP>6</SUP>(<I>x</I>) + sin<SUP>6</SUP>(<I>x</I>) = 1 - 3 sin<SUP>2</SUP>(<I>x</I>)cos<SUP>2</SUP>(<I>x</I>)
</LI>
<LI><!-- MATH
$\ln(\tan(x/2+\pi/4)) = \arg\sinh(\tan(x))$
-->
ln(tan(<I>x</I>/2 + <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">/4)) = argsinh(tan(<I>x</I>))
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.2</B> Μετατρέψτε την ρητή συνάρτηση
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x^4+x^3-x^2-x}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="122" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img60.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^4+x^3-4x^2-4x}}{{x^4+x^3-x^2-x}}}$">
</DIV><P></P>
στα ακόλουθα κλάσματα
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{x^3+x^2-x-1}
\;,\quad
\frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x(x-1)(x+1)^2}
\;,\quad
\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+1)}\;,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="139" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img61.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{(x+2)(x+1)(x-2)}}{{x^3+x^2-x-1}}}$"> , <IMG
WIDTH="122" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img62.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^4+x^3-4x^2-4x}}{{x(x-1)(x+1)^2}}}$"> , <IMG
WIDTH="95" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img63.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{(x+2)(x-2)}}{{(x-1)(x+1)}}}$"> ,
</DIV><P></P>
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}-4\frac{1}{(x-1)(x+1)}\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="95" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img64.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^2}}{{(x-1)(x+1)}}}$"> -4<IMG
WIDTH="95" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img65.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{(x-1)(x+1)}}}$"> .
</DIV><P></P></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.3</B> Μετατρέψτε την ρητή συνάρτηση
<!-- MATH
\begin{displaymath}
2\frac{x^3-yx^2-yx+y^2}{x^3-yx^2-x+y}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
2<IMG
WIDTH="120" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img66.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^3-yx^2-yx+y^2}}{{x^3-yx^2-x+y}}}$">
</DIV><P></P>
στα ακόλουθα κλάσματα
<!-- MATH
\begin{displaymath}
2\frac{x^2-y}{x^2-1}
\;,\quad
2\frac{x^2-y}{(x-1)(x+1)}
\;,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
2<IMG
WIDTH="45" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img67.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^2-y}}{{x^2-1}}}$"> , 2<IMG
WIDTH="95" HEIGHT="57" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img68.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x^2-y}}{{(x-1)(x+1)}}}$"> ,
</DIV><P></P>
<!-- MATH
\begin{displaymath}
2-\frac{y-1}{x-1}+\frac{y-1}{x+1}
\;,\quad
2-2\frac{y-1}{x^2-1}\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
2 - <IMG
WIDTH="39" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img69.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{y-1}}{{x-1}}}$"> + <IMG
WIDTH="39" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img70.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{y-1}}{{x+1}}}$"> , 2 - 2<IMG
WIDTH="45" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img71.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{y-1}}{{x^2-1}}}$"> .
</DIV><P></P></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.4</B> Θεωρούμε τις συναρτήσεις <I>f</I> που
ορίζονται ως εξής:
<!-- MATH
\begin{displaymath}
f(x) = \sqrt{e^x-1}
\;,\quad
f(x) = \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}
\;,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>f</I> (<I>x</I>) = <IMG
WIDTH="54" HEIGHT="38" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img72.png"
ALT="$\displaystyle \sqrt{{e^x-1}}$"> , <I>f</I> (<I>x</I>) = <IMG
WIDTH="66" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img73.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{x\sqrt{1+x^2}}}}$"> ,
</DIV><P></P>
<!-- MATH
\begin{displaymath}
f(x) = \frac{1}{1+\sin(x)+\cos(x)}
\;,\quad
f(x) = \frac{\ln(x)}{x(x^2+1)^2}
\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>f</I> (<I>x</I>) = <IMG
WIDTH="127" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img74.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+\sin(x)+\cos(x)}}}$"> , <I>f</I> (<I>x</I>) = <IMG
WIDTH="72" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img75.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{\ln(x)}}{{x(x^2+1)^2}}}$"> .
</DIV><P></P>
Για κάθε μία από αυτές τις συναρτήσεις :
<OL>
<LI>Υπολογίστε το ολοκλήρωμά της <I>F</I>.
</LI>
<LI>Υπολογίστε την παράγωγο <I>F'</I>(<I>x</I>) και αποδείξτε ότι<!-- MATH
$F'(x)=f(x)$
-->
<I>F'</I>(<I>x</I>) = <I>f</I> (<I>x</I>) μετά από απλοποιήσεις.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.5</B> Θεωρούμε τα ακόλουθα
ορισμένα ολοκληρώματα <!-- MATH
$I=\int_a^b f(x)\,dx$
-->
<I>I</I> = <IMG
WIDTH="19" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img76.png"
ALT="$ \int_{a}^{b}$"><I>f</I> (<I>x</I>) d<I>x</I>:
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}\,dx\,,\;
\int_0^1 x\arctan(x)\,dx\,,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="33" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img77.png"
ALT="$\displaystyle \int_{{-2}}^{{-1}}$"><IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img78.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{x}}}$"> d<I>x</I> , <IMG
WIDTH="24" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img79.png"
ALT="$\displaystyle \int_{0}^{1}$"><I>x</I> arctan(<I>x</I>) d<I>x</I> ,
</DIV><P></P>
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos(x)}\,dx\,,\;
\int_0^{\pi/2} x^4\sin(x)\cos(x)\,dx\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="37" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img80.png"
ALT="$\displaystyle \int_{0}^{{\pi/2}}$"><IMG
WIDTH="60" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img81.png"
ALT="$\displaystyle \sqrt{{\cos(x)}}$"> d<I>x</I> , <IMG
WIDTH="37" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img80.png"
ALT="$\displaystyle \int_{0}^{{\pi/2}}$"><I>x</I><SUP>4</SUP>sin(<I>x</I>)cos(<I>x</I>) d<I>x</I> .
</DIV><P></P>
Για κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα :
<OL>
<LI>Υπολογίστε πρώτα την ακριβή τιμή, και στην συνέχεια την προσεγγιστική
τιμή του ολοκληρώματος <I>I</I>.
</LI>
<LI>Για <I>n</I> = 100, και στην συνέχεια για <I>n</I> = 1000, και
για κάθε <!-- MATH
$j=0,\ldots,n$
-->
<I>j</I> = 0,..., <I>n</I>, θέτουμε <!-- MATH
$x_j=a+j(b-a)/n$
-->
<I>x</I><SUB>j</SUB> = <I>a</I> + <I>j</I>(<I>b</I> - <I>a</I>)/<I>n</I>,
και <!-- MATH
$y_j=f(x_j)$
-->
<I>y</I><SUB>j</SUB> = <I>f</I> (<I>x</I><SUB>j</SUB>).
Υπολογίστε την προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος <I>I</I> με την
μέθοδο των (αριστερών) ορθογωνίων :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
I_r = \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j)(x_{j+1}-x_j)\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>I</I><SUB>r</SUB> = <IMG
WIDTH="24" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img82.png"
ALT="$\displaystyle \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$"><I>f</I> (<I>x</I><SUB>j</SUB>)(<I>x</I><SUB>j+1</SUB> - <I>x</I><SUB>j</SUB>) .
</DIV><P></P>
</LI>
<LI>Απαντήστε στην παραπάνω ερώτηση με την μέθοδο των τραπεζίων :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
I_t = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2}(f(x_j)+f(x_{j+1}))(x_{j+1}-x_j)\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>I</I><SUB>t</SUB> = <IMG
WIDTH="24" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img82.png"
ALT="$\displaystyle \sum_{{j=0}}^{{n-1}}$"><IMG
WIDTH="15" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img26.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$">(<I>f</I> (<I>x</I><SUB>j</SUB>) + <I>f</I> (<I>x</I><SUB>j+1</SUB>))(<I>x</I><SUB>j+1</SUB> - <I>x</I><SUB>j</SUB>) .
</DIV><P></P>
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.6</B> Θεωρούμε την συνάρτηση <I>f</I> που
απεικονίζει το ζεύγος (<I>x</I>, <I>y</I>) στο
<!-- MATH
$f(x,y)=\cos(xy)$
-->
<I>f</I> (<I>x</I>, <I>y</I>) = cos(<I>xy</I>).
<OL>
<LI>Θέτουμε <!-- MATH
$x_0=y_0=\pi/4$
-->
<I>x</I><SUB>0</SUB> = <I>y</I><SUB>0</SUB> = <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">/4. Ορίστε την συνάρτηση που
απεικονίζει το (<I>u</I>, <I>v</I>, <I>t</I>)
στο
<!-- MATH
\begin{displaymath}
f(x_0+ut,y_0+vt)\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>f</I> (<I>x</I><SUB>0</SUB> + <I>ut</I>, <I>y</I><SUB>0</SUB> + <I>vt</I>) .
</DIV><P></P>
</LI>
<LI>Ορίστε την συνάρτηση <I>g</I> που απεικονίζει στο <I>t</I>
την μερική παράγωγο ως προς <I>t</I>
της προηγούμενης συνάρτησης (κατευθυνόμενη παράγωγος).
</LI>
<LI>Υπολογίστε την κλίση (grad) της συνάρτησης <I>f</I>
στο σημείο (<I>x</I><SUB>0</SUB>, <I>y</I><SUB>0</SUB>),
και στην συνέχεια το εσωτερικό
γινόμενο αυτής της κλίσης με το διάνυσμα (<I>u</I>, <I>v</I>).
Δώστε αυτό το αποτέλεσμα σαν συνάρτηση της g.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.7</B> Θεωρούμε την <!-- MATH
$x^3-(a-1)x^2+a^2x-a^3=0$
-->
<I>x</I><SUP>3</SUP> - (<I>a</I> - 1)<I>x</I><SUP>2</SUP> +
<I>a</I><SUP>2</SUP><I>x</I> - <I>a</I><SUP>3</SUP> = 0
σαν εξίσωση ως προς <I>x</I>.
<OL>
<LI>Παραστήστε γραφικά την λύση <I>x</I> συναρτήσει του <I>a</I>
με την βοήθεια της συνάρτησης
<BR><code>plotimplicit</code>.
</LI>
<LI>Υπολογίστε τις τρείς λύσεις της εξίσωσης, χρησιμοποιώντας την συνάρτηση
<code>rootof</code>
για την πρώτη, απαλείφοντας την πρώτη με την συνάρτηση <code>quo</code> και
βρίσκοντας τις δύο τελευταίες λύσεις επιλύοντας εξίσωση δευτέρου βαθμού
(χρησιμοποιήστε την συνάρτηση <code>coeff</code> για να υπολογίσετε την
διακρίνουσα
της εξίσωσης).
</LI>
<LI>Παραστήστε γραφικά κάθε μία από τις τρείς λύσεις στο ίδιο γράφημα
με διαφορετικό χρώμα,
και για τις τιμές <I>a</I> για τις οποίες οι λύσεις αυτές
είναι πραγματικές (Θα μπορούσαμε
να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση <code>resultant</code> για να βρούμε τις τιμές του <I>a</I>
για τις οποίες η εξίσωση έχει μία πολλαπλή ρίζα στο <I>x</I>, αυτές οι τιμές είναι τα δυνατά
όρια των διαστημάτων στο <I>a</I> όπου καθε μία ρίζα είναι πραγματική).
</LI>
<LI>Δώστε τις τιμές των λύσεων για <I>a</I> = 0, 1, 2.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.8</B> Θεωρούμε τα ακόλουθα όρια.
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}
\,,\;
\lim_{x\rightarrow 0^+} (\sin(x))^{1/x}
\,,\;
\lim_{x\rightarrow +\infty} (1+1/x)^{x}
\,,\;
\lim_{x\rightarrow +\infty} (2^x+3^x)^{1/x}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="26" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img83.png"
ALT="$\displaystyle \lim_{{x\rightarrow 0}}^{}$"><IMG
WIDTH="45" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img84.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{\sin(x)}}{{x}}}$"> , <IMG
WIDTH="34" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img85.png"
ALT="$\displaystyle \lim_{{x\rightarrow 0^+}}^{}$">(sin(<I>x</I>))<SUP>1/x</SUP> , <IMG
WIDTH="38" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img86.png"
ALT="$\displaystyle \lim_{{x\rightarrow +\infty}}^{}$">(1 + 1/<I>x</I>)<SUP>x</SUP> , <IMG
WIDTH="38" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img86.png"
ALT="$\displaystyle \lim_{{x\rightarrow +\infty}}^{}$">(2<SUP>x</SUP> +3<SUP>x</SUP>)<SUP>1/x</SUP>
</DIV><P></P>
Για κάθε ένα από αυτά :
<OL>
<LI>Δώστε την ακριβή του τιμή.
</LI>
<LI>Βρείτε μία τιμή του <I>x</I> έτσι ώστε η απόσταση της <I>f</I> (<I>x</I>)
στο όριο να είναι μικρότερη από
10<SUP>-3</SUP>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.9</B> Σχεδιάστε τις ακόλουθες συναρτήσεις <I>f</I>,
επιλέγοντας το διάστημα
των τετμημένων και των τεταγμένων, έτσι ώστε να πάρετε την γραφική
παράσταση με τις πιο πολλές δυνατές
πληροφορίες.
<OL>
<LI><I>f</I> (<I>x</I>) = 1/<I>x</I>.
</LI>
<LI><I>f</I> (<I>x</I>) = <I>e</I><SUP>x</SUP>.
</LI>
<LI><!-- MATH
$f(x)=1/\sin(x)$
-->
<I>f</I> (<I>x</I>) = 1/sin(<I>x</I>).
</LI>
<LI><!-- MATH
$f(x)=x/\sin(x)$
-->
<I>f</I> (<I>x</I>) = <I>x</I>/sin(<I>x</I>).
</LI>
<LI><!-- MATH
$f(x)=\sin(x)/x$
-->
<I>f</I> (<I>x</I>) = sin(<I>x</I>)/<I>x</I>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.10</B> Θεωρούμε την συνάρτηση
<!-- MATH
$f(x)=3x^2+1+\frac{1}{\pi^4}\ln((\pi-x)^2)$
-->
<I>f</I> (<I>x</I>) = 3<I>x</I><SUP>2</SUP> +1 + <IMG
WIDTH="20" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img87.png"
ALT="$ {\frac{{1}}{{\pi^4}}}$">ln((<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$"> - <I>x</I>)<SUP>2</SUP>).
<OL>
<LI>Δείξτε ότι η συνάρτηση αυτή παίρνει αρνητικές τιμές στο
<!-- MATH
$\mathbb{R}^+$
-->
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$"><SUP>+</SUP>. Σχεδιάστε την συνάρτηση στο διάστημα [0, 5].
</LI>
<LI>Προσδιορίστε<!-- MATH
$\epsilon >0$
-->
<IMG
WIDTH="11" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img88.png"
ALT="$ \epsilon$"> > 0 έτσι ώστε στο <TT>Xcas</TT> να
δώσει μία σωστή γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα
<!-- MATH
$[\pi-\epsilon,\pi+\epsilon]$
-->
[<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$"> - <IMG
WIDTH="11" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img88.png"
ALT="$ \epsilon$">,<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$"> + <IMG
WIDTH="11" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img88.png"
ALT="$ \epsilon$">].
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.11</B>
<OL>
<LI>Σχεδιάστε την συνάρτηση exp(<I>x</I>) στο διάστημα [-1, 1].
Σε αυτό το γράφημα, σχεδιάστε επίσης τα
πολυώνυμα Taylor αυτής της συναρτήσεις στο <I>x</I> = 0, τάξης
1, 2, 3, 4.
</LI>
<LI>Το ίδιο για το διάστημα [1, 2].
</LI>
<LI>Σχεδιάστε την συνάρτηση sin(<I>x</I>) στο διάστημα<!-- MATH
$[-\pi,\pi]$
-->
[- <IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">,<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">]. Στο ίδιο γράφημα, σχεδιάστε επίσης τα
πολυώνυμα
Taylor αυτής της συνάρτησης στο <I>x</I> = 0, τάξης
1, 3, 5.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.12</B> Σχεδιάστε τα ακόλουθα στο
ίδιο γράφημα,
από το 0 μέχρι το 1 και στους δύο άξονες.
<OL>
<LI>Την συνάρτηση <I>y</I> = <I>x</I>.
</LI>
<LI>Την συνάρτηση <!-- MATH
$f~: \;x\mapsto 1/6+x/3+x^2/2$
-->
<I>f</I> : <I>x</I> <IMG
WIDTH="19" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img12.png"
ALT="$ \mapsto$"> 1/6 + <I>x</I>/3 + <I>x</I><SUP>2</SUP>/2.
</LI>
<LI>Την εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης <I>f</I> στο σημείο <I>x</I> = 1.
</LI>
<LI>Ένα κάθετο τμήμα από τον άξονα των <I>x</I> μέχρι το
σημείο τομής της συνάρτησης <I>f</I> με την συνάρτηση <I>y</I> = <I>x</I>,
και ένα οριζόντιο τμήμα από αυτό το σημείο τομής
μέχρι τον άξονα των <I>y</I>.
</LI>
<LI>Οι λεζάντες "σταθερό σημείο" και "εφαπτομένη", να τοποθετηθούν στο
γράφημα σαν γραμματοσειρές .
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.13</B> Ο στόχος της άσκησης είναι ο σχεδιαμός
στο ίδιο γράφημα οικογενειών συναρτήσεων.
Επιλέξτε τον αριθμό των καμπυλών, το διάστημα παράστασης,τις κλίμακες των
<I>x</I> και <I>y</I> καθώς και το βήμα της διακριτοποίησης
των τετμημένων, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να πάρετε την
γραφική παράσταση με την περισσότερη πληροφορία.
<OL>
<LI>Συναρτήσεις <!-- MATH
$f_a(x) = x^ae^{-x}$
-->
<I>f</I><SUB>a</SUB>(<I>x</I>) = <I>x</I><SUP>a</SUP><I>e</I><SUP>-x</SUP>,
με το <I>a</I> να κυμαίνεται από το -1 εως 1.
</LI>
<LI>Συναρτήσεις <!-- MATH
$f_a(x)=1/(x-a)^2$
-->
<I>f</I><SUB>a</SUB>(<I>x</I>) = 1/(<I>x</I> - <I>a</I>)<SUP>2</SUP>,
με το <I>a</I> να κυμαίνεται από το -1 εως 1.
</LI>
<LI>Συναρτήσεις <!-- MATH
$f_a(x)=\sin(ax)$
-->
<I>f</I><SUB>a</SUB>(<I>x</I>) = sin(<I>ax</I>), με το <I>a</I> να
κυμαίνεται από το 0 εως 2.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.14</B> Για κάθε μία από τις ακόλουθες
παραμετρικές καμπύλες, επιλέξτε ένα διάστημα τιμών της παραμέτρου
ώστε να εξασφαλίζεται μία πλήρης και καλή γραφική παράσταση.
<OL>
<LI><!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(t)\\
y(t)&=& \cos^3(t)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="17" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img89.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(t)\\
y(t)&=& \cos^3(t)
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="133" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img90.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(t)\\
y(t)&=& \cos^3(t)
\end{array}$">
</DIV><P></P>
</LI>
<LI><!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(4\,t)\\
y(t)&=& \cos^3(6\,t)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="17" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img91.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(4 t)\\
y(t)&=& \cos^3(6 t)
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="143" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img92.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(4 t)\\
y(t)&=& \cos^3(6 t)
\end{array}$">
</DIV><P></P>
</LI>
<LI><!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(132\,t)\\
y(t)&=& \cos^3(126\,t)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="17" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img93.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(132 t)\\
y(t)&=& \cos^3(126 t)
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="159" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img94.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(t)&=& \sin(132 t)\\
y(t)&=& \cos^3(126 t)
\end{array}$">
</DIV><P></P>
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.15</B> Ο στόχος της άσκησης αυτής είναι να
οπτικοποιήσετε με διάφορους τρόπους την επιφάνεια που ορίζεται ως <!-- MATH
$z=f(x,y)=x\,y^2$
-->
<I>z</I> = <I>f</I> (<I>x</I>, <I>y</I>) = <I>x</I> <I>y</I><SUP>2</SUP>.
Ανοίξτε ένα 3Δ γεωμετρικό παράθυρο.
<OL>
<LI>Επιλέγξτε το πεδίο τιμών και το βήμα διακρτιτοποίησης,
κατά τέτοιο τρόπο ώστε να πάρετε μία καλή παράσταση με
την συνάρτηση <code>plotfunc</code>.
</LI>
<LI>Με την συνάρτηση <code>assume</code> δημιουργήστε μία παράμετρο <I>a</I>
που τροποποιείται με το ποντίκι.
Σχεδιάστε την καμπύλη που ορίζεται από την <I>z</I> =
<I>f</I> (<I>a</I>, <I>y</I>), και στην συνέχεια μεταβάλετε
την παράμετρο με το ποντίκι.
</LI>
<LI>Δημιουργήστε μία νέα παράμετρο <I>b</I> που τροποποιείται με το ποντίκι.
Σχεδιάστε την καμπύλη που ορίζεται από την <I>z</I> =
<I>f</I> (<I>x</I>, <I>b</I>), και στην συνέχεια μεταβάλετε την παράμετρο
με το ποντίκι.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.16</B> Ο στόχος της άσκησης είναι να οπτικοποιήσετε
έναν κώνο με διαφορετικούς τρόπους.
<OL>
<LI>Σχεδιάστε την επιφάνεια της εξίσωσης <!-- MATH
$z=1-\sqrt{x^2+y^2}$
-->
<I>z</I> = 1 - <IMG
WIDTH="63" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img95.png"
ALT="$ \sqrt{{x^2+y^2}}$">.
</LI>
<LI>Σχεδιάστε την παραμετρική επιφάνεια που ορίζεται από τις εξισώσεις :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(u,v)&=& u\,\cos(v)\\
y(u,v)&=& u\,\sin(v)\\
z(u,v)&=& 1-u\;.
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="19" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img96.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(u,v)&=& u \cos(v)\\
y(u,v)&=& u \sin(v)\\
z(u,v)&=& 1-u\;.
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="156" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img97.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(u,v)&=& u \cos(v)\\
y(u,v)&=& u \sin(v)\\
z(u,v)&=& 1-u\;.
\end{array}$">
</DIV><P></P>
</LI>
<LI>Επιλέγοντας μία τιμή του <I>a</I> αρκετά μεγάλη, σχεδιάστε
την παραμετρική καμπύλη που ορίζεται από τις εξισώσεις :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& t\,\cos(a t)\\
y(t)&=& t\,\sin(a t)\\
z(t)&=& 1-t\;.
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="19" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img98.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& t \cos(a t)\\
y(t)&=& t \sin(a t)\\
z(t)&=& 1-t\;.
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="143" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img99.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(t)&=& t \cos(a t)\\
y(t)&=& t \sin(a t)\\
z(t)&=& 1-t\;.
\end{array}$">
</DIV><P></P>
<P>
</LI>
<LI>Σχεδιάστε την οικογένεια των παραμετρικών καμπύλων που ορίζονται
από τις εξισώσεις :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& a\,\cos(t)\\
y(t)&=& a\,\sin(t)\\
z(t)&=& 1-a\;.
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="19" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img100.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{
\begin{array}{lcl}
x(t)&=& a \cos(t)\\
y(t)&=& a \sin(t)\\
z(t)&=& 1-a\;.
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="138" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img101.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{lcl}
x(t)&=& a \cos(t)\\
y(t)&=& a \sin(t)\\
z(t)&=& 1-a\;.
\end{array}$">
</DIV><P></P>
</LI>
<LI>Σχεδιάστε τον ίδιο κώνο χρησιμοποιώντας την συνάρτηση <code>cone</code>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.17</B>
<OL>
<LI>Δημιουργήστε μία λίστα <I>l</I> 100 τυχαίων ακεραίων μεταξύ 1 και 9.
</LI>
<LI>Ελέγξτε ότι το σύνολο των τιμών της <I>l</I> περιέχονται στο διάστημα
<!-- MATH
$\{1,\ldots,9\}$
-->
{1,..., 9}.
</LI>
<LI>Επιλέξτε από την λίστα <I>l</I> όλες τις τιμές <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 5.
</LI>
<LI>Για κάθε <!-- MATH
$k=1,\ldots,9$
-->
<I>k</I> = 1,..., 9, μετρήστε πόσες τιμές της λίστας <I>l</I>
είναι ίσες με <I>k</I>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.18</B> Εάν το <I>x</I> είναι ένας πραγματικός αριθμός,
το συνεχές κλάσμα τάξης <I>n</I> του <I>x</I> είναι μία λίστα
<!-- MATH
$[a_0,\ldots,a_n]$
-->
[<I>a</I><SUB>0</SUB>,..., <I>a</I><SUB>n</SUB>] ακεραίων,
της οποίας ο πρώτος όρος <I>a</I><SUB>0</SUB>
είναι το ακέραιο μέρος του <I>x</I>. Για κάθε <I>n</I> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img11.png"
ALT="$ \geq$"> 0, το <I>a</I><SUB>n</SUB> είναι το ακέραιο μέρος του
αντιστρόφου
του δεκαδικού μέρους του <I>a</I><SUB>n-1</SUB>.
Η λίστα <!-- MATH
$[a_0,\ldots,a_n]$
-->
[<I>a</I><SUB>0</SUB>,..., <I>a</I><SUB>n</SUB>] αντιστοιχεί στο κλάσμα
<!-- MATH
\begin{displaymath}
u_n = a_0+\frac{1}{\displaystyle{a_1+
\frac{1}{\displaystyle{a_2+\frac{1}{\ddots+\displaystyle{\frac{1}{a_n}}}}}}}
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>u</I><SUB>n</SUB> = <I>a</I><SUB>0</SUB> + <IMG
WIDTH="130" HEIGHT="158" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img102.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1}}{{\displaystyle{a_1+
\frac{1}{\displaystyle{a_2+\frac{1}{\ddots+\displaystyle{\frac{1}{a_n}}}}}}}}}$">
</DIV><P></P>
Για <!-- MATH
$x\in\{\pi,\sqrt{2}, e\}$
-->
<I>x</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> {<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img7.png"
ALT="$ \pi$">,<IMG
WIDTH="24" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img9.png"
ALT="$ \sqrt{{2}}$">, <I>e</I>} και <!-- MATH
$n\in \{5,10\}$
-->
<I>n</I> <IMG
WIDTH="14" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img21.png"
ALT="$ \in$"> {5, 10} :
<OL>
<LI>Υπολογίστε <!-- MATH
$[a_0,\ldots,a_n]$
-->
[<I>a</I><SUB>0</SUB>,..., <I>a</I><SUB>n</SUB>].
</LI>
<LI>Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με αυτό που δίνει η συνάρτηση <code>dfc</code>
του <TT>Xcas</TT>.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το <I>u</I><SUB>n</SUB>, και δώστε την αριθμητική τιμή του <I>x</I> - <I>u</I><SUB>n</SUB>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.19</B> Γράψτε (χωρίς να χρησιμοποιήσετε βρόχους)
τις επόμενες ακολουθίες :
<OL>
<LI>Οι αριθμοί από 1 εώς 3 με βήμα 0.1.
</LI>
<LI>Οι αριθμοί από 3 εώς 1 με βήμα -0.1.
</LI>
<LI>Τα τετράγωνα των 10 πρώτων ακεραίων.
</LI>
<LI>Οι αριθμοί της μορφής <!-- MATH
$(-1)^n n^2$
-->
(- 1)<SUP>n</SUP><I>n</I><SUP>2</SUP> για <!-- MATH
$n=1,\ldots,10$
-->
<I>n</I> = 1,..., 10.
</LI>
<LI>10 "0" ακολουθούμενα από 10 "1".
</LI>
<LI>3 "0" ακολουθούμενα από 3 "1", ακολουθούμενα από 3 "2",...,
ακολουθούμενα από 3 "9".
</LI>
<LI>"1", ακολουθούμενο από 1 "0", ακολουθούμενο από "2",
ακολουθούμενο από 2 "0",...
, ακολουθούμενο από "8", ακολουθούμενο από 8 μηδενικά, ακολουθούμενο από "9".
</LI>
<LI>1 "1" ακολουθούμενο από 2 "2", ακολουθούμενα από 3 "3",...,
ακολουθούμενα από 9 "9".
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.20</B>
<OL>
<LI>Προσδιορίστε τα ακόλουθα πολυώνυμα βαθμού 6.
<OL>
<LI>το πολυώνυμο του οποίου οι ρίζες είναι οι ακέραιοι 1 και 6.
</LI>
<LI>το πολυώνυμο του οποίου οι ρίζες είναι το 0 (τριπλή ρίζα), 1
(διπλή ρίζα) et 2 (απλή ρίζα).
</LI>
<LI>το πολυώνυμο (<I>x</I><SUP>2</SUP> -1)<SUP>3</SUP>.
</LI>
<LI>το πολυώνυμο <I>x</I><SUP>6</SUP> - 1.
</LI>
</OL>
<P>
</LI>
<LI>Γράψετε (χωρίς να χρησιμοποιήσετε την συνάρτηση <code>companion</code>)
τον συνοδευτικό πίνακα <I>A</I> που αντιστοιχεί σε κάθε ένα
από αυτά τα πολυώνυμα.
Υπενθυμίζουμε ότι ο συνοδευτικός πίνακας που αντιστοιχεί στο πολυώνυμο :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
P=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_1x+a_0\;,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>P</I> = <I>x</I><SUP>d</SUP> + <I>a</I><SUB>d-1</SUB><I>x</I><SUP>d-1</SUP> + <SUP> ... </SUP> + <I>a</I><SUB>1</SUB><I>x</I> + <I>a</I><SUB>0</SUB> ,
</DIV><P></P>
είναι ο :
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER"><A NAME="compagnon"></A><!-- MATH
\begin{equation*}
A =
\left(
\begin{array}{cccccc}
0&1&0&\ldots&&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots\\
&&&&&\\
\vdots&&&\ddots&\ddots&0\\
0&\ldots&&\ldots&0&1\\
-a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1}
\end{array}
\right)\;.
\end{equation*}
-->
<TABLE CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER">
<TR VALIGN="MIDDLE">
<TD NOWRAP ALIGN="CENTER"><I>A</I> = <IMG
WIDTH="19" HEIGHT="152" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img103.png"
ALT="$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&&0 \vdots&...
...s&0 0&\ldots&&\ldots&0&1 -a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1} \end{array} }\right.$"><IMG
WIDTH="247" HEIGHT="152" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img104.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&&0 \vdots&\ddots&\ddots&\dd...
...ots&\ddots&0 0&\ldots&&\ldots&0&1 -a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1} \end{array}$"><IMG
WIDTH="19" HEIGHT="152" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img105.png"
ALT="$\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&&0 \vdots&...
...s&0 0&\ldots&&\ldots&0&1 -a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1} \end{array} }\right)$"> .</TD>
<TD NOWRAP WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">
</TD></TR>
</TABLE></DIV>
<BR CLEAR="ALL"><P></P>
</LI>
<LI>Υπολογίστε τις ιδοτιμές του πίνακα <I>A</I>.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του <I>A</I>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B> Άσκηση 9.21</B>
<OL>
<LI>Γράψτε τον τετραγωνικό πίνακα <I>A</I> τάξης 4, έτσι ώστε <I>a</I><SUB>j, k</SUB> = <I>a</I> εάν <I>j</I> = <I>k</I> και
<I>a</I><SUB>j, k</SUB> = <I>b</I> εάν <I>j</I> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img17.png"
ALT="$ \neq$"> <I>k</I>, όπου <I>a</I> και <I>b</I> είναι μεταβλητές.
</LI>
<LI>Υπολογίστε και παραγωντοποιήστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του <I>A</I>.
</LI>
<LI>Ορίστε έναν ορθογώνιο πίνακα <I>P</I> έτσι ώστε <!-- MATH
${^t\!P} A P$
-->
<I>P<SUP>Τ</SUP>AP</I> να είναι
ένας πίνακας διαγώνιος.
</LI>
<LI>Χρησιμοποιήστε την προηγούμενη ερώτηση για να ορίσετε την συνάρτηση
που έχει αντιστοιχεί στον ακέραιο <I>n</I> τον πίνακα <I>A</I><SUP>n</SUP>.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το <I>A</I><SUP>k</SUP>, για <!-- MATH
$k=1,\ldots,6$
-->
<I>k</I> = 1,..., 6 με γινόμενα πινάκων,
και επαληθεύστε ότι η συνάρτηση που ορίζεται στην προηγούμενη ερώτηση δίνει το ίδιο
αποτέλεσμα.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.22</B>
<OL>
<LI>Γράψτε τον τετραγωνικό πίνακα <I>N</I> τάξης 6, έτσι ώστε
<I>n</I><SUB>j, k</SUB> = 1 εάν <I>k</I> = <I>j</I> + 1 και
<I>n</I><SUB>j, k</SUB> = 0 εάν <!-- MATH
$k \neq j+1$
-->
<I>k</I> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img17.png"
ALT="$ \neq$"> <I>j</I> + 1.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το <I>N</I><SUP>p</SUP>, για<!-- MATH
$p=1,\ldots,6$
-->
<I>p</I> = 1,..., 6.
</LI>
<LI>Γράψτε τον πίνακα <I>A</I> = <I>xI</I> + <I>N</I>, όπου <I>x</I> είναι μία μεταβλητή.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το<I>A</I><SUP>p</SUP>, για <!-- MATH
$p=1,\ldots,6$
-->
<I>p</I> = 1,..., 6.
</LI>
<LI>Υπολογίστε το exp(<I>At</I>) συναρτήσει των <I>x</I> και <I>t</I> :
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\exp(At) = I+\sum_{p=1}^\infty \frac{t^p}{p!} A^p\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
exp(<I>At</I>) = <I>I</I> + <IMG
WIDTH="25" HEIGHT="55" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img106.png"
ALT="$\displaystyle \sum_{{p=1}}^{\infty}$"><IMG
WIDTH="21" HEIGHT="52" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img107.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{t^p}}{{p!}}}$"><I>A</I><SUP>p</SUP> .
</DIV><P></P>
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.23</B> Γράψτε τις ακόλουθες συναρτήσεις, χωρίς
να χρησιμοποιήσετε βρόχους.
<OL>
<LI>Η συνάρτηση <I>f</I> έχει τρία ορίσματα, εναν ακέραιο <I>n</I>
και δύο πραγματικούς <I>a</I>, <I>b</I>, και επιστρέφει
τον πίνακα <I>A</I> του οποίου οι διαγώνιες τιμές είναι <I>a</I>, και όλοι οι υπόλοιποι όροι είναι ίσοι με <I>b</I>.
</LI>
<LI>Η συνάρτηση <I>g</I> έχει τέσσερα ορίσματα, έναν
ακέραιο <I>n</I> και τρείς πραγματικούς <I>a</I>, <I>b</I>, <I>c</I>,
και επιστρέφει
τον πίνακα<!-- MATH
$A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$
-->
<I>A</I> = (<I>a</I><SUB>j, k</SUB>)<SUB>j, k=1,..., n</SUB> του οποίου οι
διαγώνιοι όροι είναι ίσοι με <I>a</I>,
οι όροι <I>a</I><SUB>j, j+1</SUB> είναι ίσοι με <I>b</I> και
οι όροι <I>a</I><SUB>j+1, j</SUB> είναι ίσοι με <I>c</I>, για <!-- MATH
$j=1,\ldots,n-1$
-->
<I>j</I> = 1,..., <I>n</I> - 1 (οι υπόλοιποι όροι είναι μηδέν).
</LI>
<LI>Η συνάρτηση <I>H</I> έχει ένα όρισμα, τον ακέραιο <I>n</I> και
επιστρέφει έναν πίνακα <!-- MATH
$A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$
-->
<I>A</I> = (<I>a</I><SUB>j, k</SUB>)<SUB>j, k=1,..., n</SUB>
που ορίζεται ώς<!-- MATH
$a_{j,k} = 1/(j+k+1)$
-->
<I>a</I><SUB>j, k</SUB> = 1/(<I>j</I> + <I>k</I> + 1) (πίνακας του Hilbert).
Συγκρίνετε τον χρόνο εκτέλεσης της συνάρτησης σας με αυτόν της συνάρτησης <code>hilbert</code>
</LI>
<LI>Η συνάρτηση <I>V</I> έχει ένα όρισμα, το διάνυσμα <!-- MATH
$x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$
-->
<I>x</I> = (<I>x</I><SUB>j</SUB>)<SUB>j=1,..., n</SUB>
και επιστρέφει τον πίνακα <!-- MATH
$A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$
-->
<I>A</I> = (<I>a</I><SUB>j, k</SUB>)<SUB>j, k=1,..., n</SUB>
που ορίζεται ως <!-- MATH
$a_{j,k} = x_k^{j-1}$
-->
<I>a</I><SUB>j, k</SUB> = <I>x</I><SUB>k</SUB><SUP>j-1</SUP> (πίνακας Vandermonde).
Συγκρίνετε τον χρόνο εκτέλεσης της συνάρτησης σας με αυτόν της συνάρτησης <code>vandermonde</code>
</LI>
<LI>Η συνάρτηση <I>T</I> έχει ένα όρισμα, το διάνυσμα <!-- MATH
$x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$
-->
<I>x</I> = (<I>x</I><SUB>j</SUB>)<SUB>j=1,..., n</SUB>
και επιστρέφει τον πίνακα<!-- MATH
$A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$
-->
<I>A</I> = (<I>a</I><SUB>j, k</SUB>)<SUB>j, k=1,..., n</SUB>
που ορίζεται ως <!-- MATH
$a_{j,k} = x_{|j-k|+1}$
-->
<I>a</I><SUB>j, k</SUB> = <I>x</I><SUB>| j-k|+1</SUB> (πίνακας Toeplitz).
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.24</B> Γράψτε τις ακόλουθες συναρτήσεις. Όλες
έχουν τέσσερα ορίσματα, μία συνάρτηση
<I>f</I> (από το <!-- MATH
$\mathbb{R}$
-->
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$"> στο <!-- MATH
$\mathbb{R}$
-->
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img13.png"
ALT="$ \mathbb {R}$">), και τρείς τιμές <I>x</I><SUB>min</SUB>,
<I>x</I><SUB>0</SUB> και <I>x</I><SUB>max</SUB> (έτσι ώστε <!-- MATH
$x_{min}\leq x_0 \leq x_{max}$
-->
<I>x</I><SUB>min</SUB> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img10.png"
ALT="$ \leq$"> <I>x</I><SUB>0</SUB> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img10.png"
ALT="$ \leq$"> <I>x</I><SUB>max</SUB>).
<OL>
<LI><code>derive</code> :
Υπολογίζει και σχεδιάζει γραφικά την παράγωγο της <I>f</I> στο διάστημα <!-- MATH
$[x_{min},x_{max}]$
-->
[<I>x</I><SUB>min</SUB>, <I>x</I><SUB>max</SUB>].
Επιστρέφει την τιμή <I>f'</I>(<I>x</I><SUB>0</SUB>).
</LI>
<LI><code>tangente</code> :
Σχεδιάζει την συνάρτηση <I>f</I> στο διάστημα <!-- MATH
$[x_{min},x_{max}]$
-->
[<I>x</I><SUB>min</SUB>, <I>x</I><SUB>max</SUB>], επιθέτει στην ίδια
γραφική παράσταση
την γραφική παράσταση της εφαπτομένης της <I>f</I> στο σημείο <I>x</I><SUB>0</SUB>,
και επιστρέφει την εξίσωση αυτής της εφαπτομένης ως πολυώνυμο πρώτου βαθμού.
</LI>
<LI><code>araignee</code> :
Σχεδιάζει την συνάρτηση <I>f</I> στο διάστημα <!-- MATH
$[x_{min},x_{max}]$
-->
[<I>x</I><SUB>min</SUB>, <I>x</I><SUB>max</SUB>],
Όπως και την εξίσωση της ευθείας <I>y</I> = <I>x</I>.
Υπολογίζει και επιστρέφει τις 10 πρώτες επαναλήψεις της <I>f</I>
στο <I>x</I><SUB>0</SUB>
(<!-- MATH
$x_1=f(x_0), x_2=f\circ f(x_0), \ldots$
-->
<I>x</I><SUB>1</SUB> = <I>f</I> (<I>x</I><SUB>0</SUB>),
<I>x</I><SUB>2</SUB> = <I>f</I><TT>o</TT><I>f</I> (<I>x</I><SUB>0</SUB>),...).
Σχεδιάζει την ακολουθία των ευθυγράμμων τμημάτων,
εναλλακτικά κάθετα και οριζόντια,
που μας επιτρέπουν να οπτικοποιήσουμε τις επαναλήψεις :
τμήματα που ενώνουν τα σημεία (<I>x</I><SUB>0</SUB>, 0), (<I>x</I><SUB>0</SUB>, <I>x</I><SUB>1</SUB>), (<I>x</I><SUB>1</SUB>, <I>x</I><SUB>1</SUB>),
(<I>x</I><SUB>1</SUB>, <I>x</I><SUB>2</SUB>), (<I>x</I><SUB>2</SUB>, <I>x</I><SUB>2</SUB>), ...
(συγκρίνετε με την συνάρτηση <code>plotseq</code>)
</LI>
<LI><code>newton_graph</code> :
Σχεδιάζει την συνάρτηση <I>f</I> στο διάστημα <!-- MATH
$[x_{min},x_{max}]$
-->
[<I>x</I><SUB>min</SUB>, <I>x</I><SUB>max</SUB>].
Υπολογίζει και επιστρέφει τις 10 πρώτες επαναλήψεις
της ακολουθίας ξεκινώντας από το <I>x</I><SUB>0</SUB>
με την μέθοδο του Newton : <!-- MATH
$x_1=x_0 -f(x_0)/f'(x_0)$
-->
<I>x</I><SUB>1</SUB> = <I>x</I><SUB>0</SUB> - <I>f</I> (<I>x</I><SUB>0</SUB>)/<I>f'</I>(<I>x</I><SUB>0</SUB>),
<!-- MATH
$x_2=x_1 - f(x_1)/f'(x_1)$
-->
<I>x</I><SUB>2</SUB> = <I>x</I><SUB>1</SUB> - <I>f</I> (<I>x</I><SUB>1</SUB>)/<I>f'</I>(<I>x</I><SUB>1</SUB>) ... Οι τιμές της παραγώγου είναι
προσεγγιστικές. Η συνάρτηση σχεδιάζει στο ίδιο γράφημα ευθύγραμμα τμήματα που
επιτρέπουν την οπτικοποιήση των επαναλήψεων : τα τμήματα αυτά ενώνουν τα σημεία
(<I>x</I><SUB>0</SUB>, 0), <!-- MATH
$(x_0,f(x_0))$
-->
(<I>x</I><SUB>0</SUB>, <I>f</I> (<I>x</I><SUB>0</SUB>)), (<I>x</I><SUB>1</SUB>, 0),
<!-- MATH
$(x_1,f(x_1))$
-->
(<I>x</I><SUB>1</SUB>, <I>f</I> (<I>x</I><SUB>1</SUB>)), (<I>x</I><SUB>2</SUB>, 0), <!-- MATH
$(x_2,f(x_2))$
-->
(<I>x</I><SUB>2</SUB>, <I>f</I> (<I>x</I><SUB>2</SUB>)),...
(συγκρίνετε με την συνάρτηση <code>newton</code>)
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<DIV><B>Άσκηση 9.25</B> Συμβολίζουμε με <I>D</I>
το μοναδιαίο τετράγωνο : <I>D</I> =]0, 1[<SUP>2</SUP>. Έστω <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$">
η εφαρμογή που ορίζεται στο <I>D</I> από την εξίσωση
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\Phi(x,y) = (z(x,y),t(x,y))=
\left(\frac{x}{1+y}\,,\,\frac{y}{1+x}\right)\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img109.png"
ALT="$\displaystyle \Phi$">(<I>x</I>, <I>y</I>) = (<I>z</I>(<I>x</I>, <I>y</I>), <I>t</I>(<I>x</I>, <I>y</I>)) = <IMG
WIDTH="17" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img110.png"
ALT="$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x}{1+y} , \frac{y}{1+x}}\right.$"><IMG
WIDTH="39" HEIGHT="44" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img111.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{x}}{{1+y}}}$"> , <IMG
WIDTH="39" HEIGHT="44" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img112.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{y}}{{1+x}}}$"><IMG
WIDTH="17" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img113.png"
ALT="$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x}{1+y} , \frac{y}{1+x}}\right)$"> .
</DIV><P></P>
<OL>
<LI>Υπολογίστε τον αντίστροφο της εφαρμογής<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$">.
</LI>
<LI>Προσδιορίστε και σχεδιάστε γραφικά την απεικόνιση
<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img114.png"
ALT="$ \Delta$">
του <I>D</I> από το <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$"> : <!-- MATH
$\Delta=\Phi(D)$
-->
<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img114.png"
ALT="$ \Delta$"> = <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$">(<I>D</I>).
</LI>
<LI>Έστω <I>A</I>(<I>x</I>, <I>y</I>) ο ιακωβιανός πίνακας του
<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$"> σε ένα σημείο (<I>x</I>, <I>y</I>) του
<I>D</I>, και <I>B</I>(<I>z</I>, <I>t</I>) ο ιακωβιανός πίνακας του
<IMG
WIDTH="31" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img115.png"
ALT="$ \Phi^{{-1}}_{}$"> σε ένα σημείο (<I>x</I>, <I>y</I>) του
<IMG
WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img114.png"
ALT="$ \Delta$">. Υπολογίστε αυτούς τους δύο πίνακες, και βεβαιωθείτε ότι οι
πίνακες
<!-- MATH
$B(\Phi(x,y))$
-->
<I>B</I>(<IMG
WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"
SRC="img108.png"
ALT="$ \Phi$">(<I>x</I>, <I>y</I>)) και
<I>A</I>(<I>x</I>, <I>y</I>) είναι ο ένας αντίστροφος του άλλου.
</LI>
<LI>Έστω
<I>J</I>(<I>z</I>, <I>t</I>) η ορίζουσα του πίνακα <I>B</I>.
Υπολογίστε και απλοποιήστε την
<I>J</I>(<I>z</I>, <I>t</I>).
</LI>
<LI>Υπολογίστε
<!-- MATH
\begin{displaymath}
I_1=\iint_D\,\left( \frac{1+x+y}{(1+x)(1+y)} \right)^3 \,dxdy\;.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>I</I><SUB>1</SUB> = <IMG
WIDTH="28" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img116.png"
ALT="$\displaystyle \iint_{D}^{}$"> <IMG
WIDTH="17" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img117.png"
ALT="$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{1+x+y}{(1+x)(1+y)} }\right.$"><IMG
WIDTH="95" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img118.png"
ALT="$\displaystyle {\frac{{1+x+y}}{{(1+x)(1+y)}}}$"><IMG
WIDTH="23" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img119.png"
ALT="$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{1+x+y}{(1+x)(1+y)} }\right)^{3}_{}$"> d<I>xdy</I> .
</DIV><P></P>
</LI>
<LI>Υπολογίστε
<!-- MATH
\begin{displaymath}
I_2=\iint_\Delta\,(1+z)(1+t)\,dzdt\;,
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<I>I</I><SUB>2</SUB> = <IMG
WIDTH="27" HEIGHT="48" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img120.png"
ALT="$\displaystyle \iint_{\Delta}^{}$"> (1 + <I>z</I>)(1 + <I>t</I>) d<I>zdt</I> ,
</DIV><P></P>
και βεβαιωθείτε ότι
<I>I</I><SUB>1</SUB> = <I>I</I><SUB>2</SUB>.
</LI>
</OL></DIV><P></P>
<P>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html690"
HREF="node45.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html684"
HREF="tutoriel.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html678"
HREF="node43.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html686"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html688"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html691"
HREF="node45.html">Πίνακας περιεχομένων και ευρετήριο</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html685"
HREF="tutoriel.html">Διδακτική παρουσίαση</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html679"
HREF="node43.html">Σωστό ή λάθος;</A>
<B> <A NAME="tex2html687"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html689"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>