<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">
<!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70)
original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others
Translation to greek : George Nassopoulos-->
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Γραμμικά συστήματα</TITLE>
<META NAME="description" CONTENT="Systèmes linéaires">
<META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel">
<META NAME="resource-type" CONTENT="document">
<META NAME="distribution" CONTENT="global">
<META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1">
<META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">
<LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css">
<LINK REL="next" HREF="node26.html">
<LINK REL="previous" HREF="node24.html">
<LINK REL="up" HREF="node20.html">
<LINK REL="next" HREF="node26.html">
</HEAD>
<BODY >
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html419"
HREF="node26.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html413"
HREF="node20.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html407"
HREF="node24.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html415"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html417"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html420"
HREF="node26.html">Αναγωγή πινάκων</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html414"
HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html408"
HREF="node24.html">Διανύσματα και πίνακες</A>
<B> <A NAME="tex2html416"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html418"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<H2><A NAME="SECTION00045000000000000000"></A>
<A NAME="626"></A>
<BR>
Γραμμικά συστήματα
</H2>
<A NAME="1724"></A>
<A NAME="1725"></A>
<A NAME="1726"></A>
Η συνάρτηση <code>linsolve</code> επιλύει ένα σύστημα (μία λίστα)
γραμμικών εξισώσεων. Η σύνταξη είναι ίδια με την solve.
<P>
Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση
<code>simult</code> για να επιλύσουμε ένα ή πολλά συστήματα γραμμικών εξισώσεων
τα οποία διαφέρουν <I>μόνο</I> ως προς το δεύτερο μέλος τους.
Στην περίπτωση αυτή το πρώτο όρισμα της <code>simult</code> είναι ο (κοινός)
πίνακας του (των) συστήματος(-των), ενώ το δεύτερο όρισμα είναι ένας πίνακας
του οποίου η (οι) στήλη(-ες) είναι το (τα) δεύτερο(-α) μέλος(-η)
του (των) συστήματος(-των).
<P>
Τέλος υπάρχει και η συνάρτηση <code>rref</code> με όρισμα ένα πίνακα που
παίρνουμε συνενώνοντας τον πίνακα του συστήματος
με το δεύτερο μέλος (<TT>border(A,b)</TT> όπου <TT>b</TT> είναι
το <I>διάνυσμα</I> του δεύτερου μέρους).
<P>
Όταν το σύστημα είναι αδύνατο να λυθεί, η συνάρτηση <code>linsolve</code>
επιστρέφει
μία άδεια λίστα, η <code>simult</code> επιστρέφει μόνο μία λύση, και
η <code>rref</code>
επιστρέφει ένα πίνακα του οποίου μία των γραμμών είναι μηδενική,
εκτός του τελευταίου στοιχείου.
<P>
Όταν το σύστημα είναι απροσδιόριστο, η συνάρτηση <code>linsolve</code>
επιστρέφει μία άδεια λίστα, η <code>simult</code>
επιστρέφει μόνο μία λύση, και η <code>rref</code> επιστρέφει ένα πίνακα
του οποίου μία ή περισσότερες γραμμές
είναι μηδενικές.
<P>
Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν το σύστημα
<!-- MATH
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{llllllr}
x &+& y &+& az&=&1\\
x & +& a y&+& z&=&1 \\
ax & +&y &+& z&=&-2
\end{array}\right.
\end{displaymath}
-->
<P></P>
<DIV ALIGN="CENTER">
<IMG
WIDTH="19" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img15.png"
ALT="$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{llllllr}
x &+& y &+& az&=&1\\
x & +& a y&+& z&=&1 \\
ax & +&y &+& z&=&-2
\end{array}}\right.$"><IMG
WIDTH="216" HEIGHT="74" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img16.png"
ALT="$\displaystyle \begin{array}{llllllr}
x &+& y &+& az&=&1\\
x & +& a y&+& z&=&1 \\
ax & +&y &+& z&=&-2
\end{array}$">
</DIV><P></P>
Το σύστημα αυτό έχει μία μόνο μοναδική λύση για <I>a</I> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img17.png"
ALT="$ \neq$"> 1 και για <I>a</I> <IMG
WIDTH="15" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"
SRC="img17.png"
ALT="$ \neq$"> - 2. Για <I>a</I> = 1 το σύστημα
είναι αδύνατο και για <I>a</I> = - 2 είναι απροσδιόριστο.
<PRE>
linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
a:=1
linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
a:=-2
linsolve([x+y+a*z=1,x+a*y+z=1,x+a*y+z=-2],[x,y,z])
purge(a)
A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]]
solve(det(A),a)
A1:=subst(A,a=1)
rank(A1)
image(A1)
ker(A1)
A2:=subst(A,a=-2)
rank(A2)
image(A2)
ker(A2)
b:= [1,1,-2]
B:=tran(b)
simult(A,B)
simult(A1,B)
simult(A2,B)
M:=blockmatrix(1,2,[A,B])
rref(M)
rref(border(A,b))
rref(border(A1,b))
rref(border(A2,b))
</PRE>
<DIV ALIGN="CENTER">
<TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1">
<TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Γραμμικά συστήματα</B></TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>linsolve</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">επίλυση ενός συστήματος</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>simult</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">επίλυση πολλών συστημάτων ταυτόχρονα </TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>rref</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">αναγωγή Gauss-Jordan</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>rank</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">τάξη</TD>
</TR>
<TR><TD ALIGN="LEFT"><code>det</code></TD>
<TD ALIGN="LEFT">ορίζουσα του συστήματος</TD>
</TR>
</TABLE>
</DIV>
<A NAME="645"></A>
<HR>
<!--Navigation Panel-->
<A NAME="tex2html419"
HREF="node26.html">
<IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A>
<A NAME="tex2html413"
HREF="node20.html">
<IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A>
<A NAME="tex2html407"
HREF="node24.html">
<IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A>
<A NAME="tex2html415"
HREF="node46.html">
<IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A>
<A NAME="tex2html417"
HREF="node47.html">
<IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A>
<BR>
<B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html420"
HREF="node26.html">Αναγωγή πινάκων</A>
<B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html414"
HREF="node20.html">Εργαλεία για την Άλγεβρα</A>
<B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html408"
HREF="node24.html">Διανύσματα και πίνακες</A>
<B> <A NAME="tex2html416"
HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B>
<B> <A NAME="tex2html418"
HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B>
<BR>
<BR>
<!--End of Navigation Panel-->
<ADDRESS>
Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
</ADDRESS>
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας
</BODY>
</HTML>