<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 2002-2-1 (1.70) original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from: Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others Translation to greek : George Nassopoulos--> <HTML> <HEAD> <TITLE>Επίλυση εξισώσεων</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Résolution d'équations"> <META NAME="keywords" CONTENT="tutoriel"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2002-2-1"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css"> <LINK REL="STYLESHEET" HREF="tutoriel.css"> <LINK REL="next" HREF="node19.html"> <LINK REL="previous" HREF="node17.html"> <LINK REL="up" HREF="node14.html"> <LINK REL="next" HREF="node19.html"> </HEAD> <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html317" HREF="node19.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html311" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html305" HREF="node17.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html313" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html315" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html318" HREF="node19.html">Διαφορικές εξισώσεις</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html312" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html306" HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A> <B> <A NAME="tex2html314" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html316" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel--> <H2><A NAME="SECTION00034000000000000000"></A> <A NAME="414"></A> <BR> Επίλυση εξισώσεων </H2> Όπως και στα ολοκληρώματα έτσι και εδώ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : <DL COMPACT> <DD><LI>την ακριβή επίλυση που μας δίνει όλες τις λύσεις εφ' όσον αυτό είναι δυνατόν, </LI></DD> <BR> <DD><LI>την προσεγγιστική επίλυση που υπολογίζει με ένα επαναληπτικό αλγόριθμο την προσεγγιστική τιμή <I>μίας</I> εκ των λύσεων. </LI></DD> </DL> <A NAME="417"></A> <A NAME="418"></A> Η ακριβής επίλυση πραγματοποιείται με την βοήθεια της συνάρτησης <code>solve</code>, της οποίας το πρώτο όρισμα είναι μία εξίσωση. Το δεξί μέλος υποτίθεται μηδέν εάν δεν έχει προσδιορισθεί. Εξ' ορισμού η συνάρτηση <code>solve</code> δεν βρίσκει τις μιγαδικές λύσεις. Για να τις βρούμε, πρέπει να ενεργοποιήσουμε την επιλογή <code>στους μιγαδικούς</code> που βρίσκεται στις <code>Ρυθμίσεις Cas</code> του <code>Xcas</code>. Εκτελέστε τις ακόλουθες εντολές <I>πριν</I> και <I>αφού</I> ενεργοποιήσετε την επιλογή <code>στους μιγαδικούς</code>. <A NAME="1649"></A> <PRE> solve(x^2-a*x+2,x) solve(x^2+2,x) solve(x^3=1,x) </PRE> <P> Για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις, επιστρέφονται οι βασικές λύσεις. Για να πάρουμε όλες τις λύσεις, πρέπει να ενεργοποιήσουμε την επιλογή <code>όλες_τρίγ_λύσεις</code> που βρίσκεται στις <code>Ρυθμίσεις Cas</code> του <code>Xcas</code>. Συγκρίνετε τις ακόλουθες εντολές με ή χωρίς αυτήν την επιλογή. <PRE> solve(cos(x),x) solve(cos(x)+sin(x),x) </PRE> <P> Η συνάρτηση <code>solve</code> μπορεί επίσης να επιλύσει συστήματα εξισώσεων. Στην περίπτωση αυτή το πρώτο όρισμα είναι η λίστα των εξισώσεων, ενώ το δεύτερο όρισμα είναι η λίστα των μεταβλητών. <A NAME="424"></A> <PRE> solve([x^2+y-2,x+y^2-2],[x,y]) </PRE> <P> <A NAME="1650"></A> Η προσεγγιστική επίλυση πραγματοποιείται με την βοήθεια της συνάρτησης <code>fsolve</code>. Για την συνάρτηση αυτή προτείνονται ως επιλογές (ορίσματα) διάφοροι αλγόριθμοι (στα μενού <code>Εντολές->Επίλυση->Εξίσωσης_προσεγγ</code> και <code>Εντολές->Επίλυση->Συστήματος_προσεγγ</code>). Η βασική αρχή όλων αυτών των επιλογών (αλγορίθμων) είναι ότι υπολογίζουν διαδοχικούς όρους μιας σειράς που τείνει σε μία λύση της εξίσωσης ή του προτεινόμενου συστήματος. Για αυτό πρέπει να επιλέξουμε, ανάλογα με την περίσταση, ένα σημείο εκκίνησης ή ένα διάστημα αναζήτησης. <PRE> fsolve((x^5+2*x+1)=0,x,1,newton_solver) newton(x^5+2*x+1,x,1.0) newton(x^5+2*x+1,x,1+i) newton(x^5+2*x+1,x,-1+i) </PRE> <DIV ALIGN="CENTER"> <TABLE CELLPADDING=3 BORDER="1"> <TR><TD ALIGN="CENTER" COLSPAN=2><B>Εξισώσεις</B></TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>solve(eq,x)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">ακριβής επίλυση μίας εξίσωσης </TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>solve([eq1,eq2],[x,y])</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">ακριβής επίλυση ενός συστήματος</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>fsolve(eq,x)</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">προσεγγιστική επίλυση μίας εξίσωσης</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>fsolve([eq1,eq2],[x,y])</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">προσεγγιστική επίλυση ενός συστήματος</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>newton</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">μέθοδος του Newton</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>linsolve</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">γραμμικό σύστημα</TD> </TR> <TR><TD ALIGN="LEFT"><code>proot</code></TD> <TD ALIGN="LEFT">προσεγγιστικές ρίζες ενός πολυωνύμων</TD> </TR> </TABLE> </DIV> <A NAME="1651"></A> <A NAME="1652"></A> <A NAME="1653"></A> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html317" HREF="node19.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next.png"></A> <A NAME="tex2html311" HREF="node14.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up.png"></A> <A NAME="tex2html305" HREF="node17.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="prev.png"></A> <A NAME="tex2html313" HREF="node46.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents" SRC="contents.png"></A> <A NAME="tex2html315" HREF="node47.html"> <IMG WIDTH="43" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="index" SRC="index.png"></A> <BR> <B> επόμενο:</B> <A NAME="tex2html318" HREF="node19.html">Διαφορικές εξισώσεις</A> <B> εμφάνιση:</B> <A NAME="tex2html312" HREF="node14.html">Εργαλεία για την Ανάλυση</A> <B> προηγούμενο:</B> <A NAME="tex2html306" HREF="node17.html">Αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα</A> <B> <A NAME="tex2html314" HREF="node46.html">Πίνακας περιεχομένων</A></B> <B> <A NAME="tex2html316" HREF="node47.html">Ευρετήριο</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Βιβλιογραφία του <A HREF="http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html">giac</A> από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart </ADDRESS> Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας </BODY> </HTML>